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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第,4,章 固有频率的实用计算方法,4-1,单自由度系统,一 列方程法,单自由度无阻尼自由振动系统运动,只要列出单自由度无阻尼自由振动系统的运动微分方程，就可以得到振动系统的固有频率,第,4,章 固有频率的实用计算方法,4-1,单自由度系统,一 列方程法,例,4-1-1,：建立图,4-1-1(a),所示的均质杆绕,O,点作微幅转动振动系统的运动微分方程。,解：单自由度系统，取均质杆为研究对象，画其受力图如图,(b),。根据动量矩定理,第,4,章 固有频率的实用计算方法,4-1,单自由度系统,一 列方程法,即,解：单自由度系统，取均质杆为研究对象，画其受力图如图,(b),。根据动量矩定理,振动系统固有频率：,第,4,章 固有频率的实用计算方法,4-1,单自由度系统,二能量法,原理：,对于单自由度无阻尼自由振动系统，其响应为简谐振动，系统 或 。在静平衡位置，势能为0，动能到达最大，即：。在最大位移处，动能为0，势能到达最大，即：。所以有：,例：,对图,4-1-1,所示的振动系统，系统的动能,系统的势能,第,4,章 固有频率的实用计算方法,4-1,单自由度系统,二能量法,令,例：,对图,4-1-1,所示的振动系统，系统的动能,系统的势能,那么有：,最大动能,最大势能：,由,得：,系统的固有频率,第,4,章 固有频率的实用计算方法,4-2,多自由度系统,4-2-1,求特征值法,令,对于多自由度振动系统，其无阻尼自由振动运动微分方,带入方程,4-2-1,并消去,项得,欲使方程有非,0,解，令方程的系数行列式等于,0,可得到特征方程的,n,个特征根,，即振动系统的固有频率,4-2-1,特征方程，又称振幅方程,第,4,章 固有频率的实用计算方法,4-2,多自由度系统,4-2-1,求特征值法,例,4-2-1,：,2,个自由度振动系统，其运动微分方程为：,令其特征方程的系数行列式等于,0,得,即：,可得固有频率,第,4,章 固有频率的实用计算方法,4-2,多自由度系统,4-2-2,计算固有频率的近似法,一、瑞利法Rayleigh法,瑞利法从单自由度振动系统固有频率计算的能量方法出发，对于多自由度振动系统，在作无阻尼自由振动时，,响应为同步振动。系统的动能可表示为：,系统的势能,设,带入,得,最大动能,最大,势,能,第,4,章 固有频率的实用计算方法,4-2,多自由度系统,4-2-2,计算固有频率的近似法,一、瑞利法Rayleigh法,带入公式,得：,利用4-2-7精确计算多自由度振动系统的固有频率，前提条件是需要系统的振型，这是无法做到的。但振动系统的一阶振型的近似值一般可以预测，大都数情况下与其静载荷作用下产生的静变形十分接近。,例如例4-2-1所给出的振动问题，假设取,代入式,4-2-7,进行试算：,4-2-7,第,4,章 固有频率的实用计算方法,一、瑞利法Rayleigh法,假设取,假设取,与精确解相比，一阶固有频率的相对计算误差,代入式,4-2-7,进行试算,二阶固有频率的相对计算误差,瑞利法的计算精度决定于对振型的假设。计算一阶固有频率精度较高但数值偏大,第,4,章 固有频率的实用计算方法,二、邓克利法Dunkenley法,对于二个自由度系统：,展开整理,对于多自由度振动系统，假设用柔度法建立的运动微分方程可表示为：,4-2-8,同样地令,特征方程,(a),第,4,章 固有频率的实用计算方法,二、邓克利法Dunkenley法,一般有,，即,因此有,设 为方程的两个根，那么有,比较ab两式，可得,b,第,4,章 固有频率的实用计算方法,二、邓克利法Dunkenley法,用,Dunkenley,法求解上例,一般地，对于具有,n,个自由度的振动系统,即,Dunkenley,法计算自由度的振动系统一阶固有频率的计算公式,。,Dunkenley,法计算结果偏小,第,4,章 固有频率的实用计算方法,4-3 传递矩阵法Transfer Matrix Method,传递矩阵法属于一种半解析数值解法，其根本思路：将系统离散成假设干单元，每一个单元与邻近单元界面上用位移协调条件和力的平衡条件予以联系；每一单元可以用牛顿第二定律建立运动方程，从而建立单元两端之间的传递矩阵。求解从系统的边界开始，在边界上有的外力及位移关系是的，求出另一侧的力和位移；依次进行下去最后可得到问题的解。传递矩阵法既可求振动系统的固有频率，也可以求振动系统的强迫振动响应问题。,第,4,章 固有频率的实用计算方法,4-3 传递矩阵法Transfer Matrix Method,4-3-1,传递矩阵法分析轴的纵向振动,图,4-3-1,轴的纵向振动离散化模型,第,4,章固有频率的实用计算方法,4-3-1,传递矩阵法分析轴的纵向振动,传递矩阵法的求解步骤,1.,系统的离散化,利用集中质量法将具有分布质量的连续系统离散为具有,n,个自由度的链式系统，如图,4-3-1(b),并进行编号,2.,建立点场矩阵,取第,i,个质量弹簧元件研究,两端状态向量关系,写成矩阵形式,第,4,章固有频率的实用计算方法,4-3-1,传递矩阵法分析轴的纵向振动,场传递矩阵,研究质量元件,在没有外鼓励力作用时，根据牛顿第二定律，可得以下关系式,假设振动系统作简谐振动，那么有,第,4,章固有频率的实用计算方法,4-3-1,传递矩阵法分析轴的纵向振动,即,质量,两侧状态向量之间的关系方程,点传递矩阵,3.,求系统的传递矩阵,第,i,个质量弹簧单元的状态向量传递关系,第,4,章固有频率的实用计算方法,4-3-1,传递矩阵法分析轴的纵向振动,令,称振动系统的状态向量,写,成,简洁的形式,对于图,4-3-1(b),所示的振动系统，最右端状态,与最左端状态,之间的关系,第,i,个质量弹簧单元的传递矩阵,4-3-7,第,4,章固有频率的实用计算方法,4-3-1,传递矩阵法分析轴的纵向振动,称系统的总的传递矩阵,而状态向量,依赖于边界条件。,4.,求系统的固有频率,求系统的固有频率时，从最左边的状态,向量,出发，利用式,4-3-7,计算最右边的状态向量,得到一个关于,的方程式，其中满足所需解决问题边界条件的,就是系统的固有频率。,第,4,章固有频率的实用计算方法,4-3-1,传递矩阵法分析轴的纵向振动,对于图,5-3-1,所示的悬臂梁的纵向振动问题，其边界条件为,，,，代入,3-3-7,式有,从而得,，,。满足,的,即,为系统的固有频率。,第,4,章固有频率的实用计算方法,4-3-1,传递矩阵法分析轴的纵向振动,例,4-3-1,用传递矩阵法求图,4-3-2,所示的单自由度系统的固有频率,解：1：编号：如下图,2：计算点、场矩阵,点矩阵,场矩阵,3,、计算传递矩阵：,第,4,章固有频率的实用计算方法,4-3-1,传递矩阵法分析轴的纵向振动,4,、求系统的固有频率,(,无阻尼自由振动,),根据边界条件,代入：,固有频率,第,4,章固有频率的实用计算方法,4-3-1,传递矩阵法分析轴的纵向振动,例,4-3-2,用传递矩阵法求图,4-3-3,所示的,2,个自由度系统的固有频率,解：1：编号：如下图,2：计算点、场矩阵及传递矩阵,图,4-3-3,第,4,章固有频率的实用计算方法,4-3-1,传递矩阵法分析轴的纵向振动,3.,求系统的固有频率,(,无阻尼自由振动,),由边界条件,代入上式得,:,由上式的第,2,式得：,即：,可解出两个根，即系统的固有频率：,第,4,章固有频率的实用计算方法,4-3-2,传递矩阵法分析圆轴的扭转振动,一,传递矩阵的计算,图,4-3-4b),为系统的某一具有代表性的第,n,段单元。其,点矩阵形式的动力方程,为,为第n段单元对转轴的转动惯量,图,4-3-4,扭转振动单元状态向量表示,场矩阵形式的弹性方程,第,4,章固有频率的实用计算方法,4-3-2,传递矩阵法分析圆轴的扭转振动,一,传递矩阵法的,计算,第,n,段单元的传递矩阵,系统的传递矩阵的计算公式仍然可以表示为,第,4,章固有频率的实用计算方法,4-3-2,传递矩阵法分析圆轴的扭转振动,二,算法流程图,图,4-3-5(a),所示的一端固定一端自由的圆轴作扭转自由振动，其中杆长为,l,，轴径为,d,，材料的切变模量为,G,，密度为,，用传递矩阵法计算一阶固有频率。,第,4,章固有频率的实用计算方法,4-3-2,传递矩阵法分析圆轴的扭转振动,二,算法流程图,图,4-3-7,传递矩阵法的计算结果,在,01000rad/s,范围内，计算得到的前,3,阶固有频率为,158.5,，,475,和,791.5rad/s,。而由理论解分别为,159.08,，,477.24,和,795.4rad/s,相对误差分别为,0.365%,，,0.469%,和,0.490%,。,
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