资源描述
单击此处编辑母版标题样式,第二章-1,#,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,习 题,7-1,，,7-2,7.2,速度环量与旋涡强度,速度环量,-,沿封闭曲线的切向速度积分,1,速度环量,正方向：,逆时针,，,沿正方向行进时，曲线所围区域总是在左手边。,L,d,s,v,例,设速度分布为,u,=,-,6,y,，,v,=8,x,，求绕圆,x,2,+,y,2,=1,的速度环量。,在圆,x,2,+,y,2,=1,上,其速度环量为,解,2,旋涡强度,涡量,-,速度场的旋度,面积,A,上的涡通量,-,涡量在,A,上法向分量的积分,也称为,旋涡强度,(,或,涡强,),n,-,面积,A,上的法向单位矢量。,当面积,A,在,xoy,平面上，,n,x,=0,，,n,y,=0,，,n,z,=1,所以,旋涡强度类似于体积流量，它表示通过指定面积,旋涡量，这就是它被称为,涡通量,的原因。,例,设速度分布为,u,=,-,6,y,，,v,=8,x,，求,x,2,+,y,2,=1,所,围圆面积上,的旋涡强度。,在面积,A,上旋涡强度,解,旋转角速度,与上个例题中速度环量相等。,3,斯托克斯,(,Stokes,),定理,根据数学定理,:,如果,A,是封闭曲线,L,所围的单连通区域，则,令,P,=,u,，,Q,=,v,，,R,=,w,，,L,A,A,L,n,封闭曲线,L,上的,速度环量,与,L,所围单连通区域,A,上,的,旋涡强度,之间具有等量关系。,斯托克斯定理中的,A,可以是,空间曲面,面积,，而不一定要求是平面面积。,无旋流动,-,沿流场中任意封闭曲线,的速度环量均为零,例,测出龙卷风旋转角速度为,=2.5 rad/s,，风区最大,风速为,v,max,=50 m/s,。求出整个龙卷风区域的风速,分布。,I,是龙卷风的旋涡强度。,解,龙卷风可以被看成是一股垂直于地面的旋转流体，,它的中心部分,(,涡核区,),以等角速度绕自身轴旋转，,并带动周围流体绕其转动，其流动是无旋的。,在涡核区内,r,R,，流体速度分布为,由两个区域的速度表达式可以看出，最大速度发,生在涡核区的外缘，即,r,=,R,处。由涡核区速度,表达式得,龙卷风的旋涡强度等于沿,r,=,R,圆周的速度环量,涡核外速度为,龙卷风区域的风速分布,7.3,旋涡运动的基本概念,1,涡线与涡管,涡线,-,处处与涡矢量,相切,的空间曲线。,涡线也可以被看成是流体质点的瞬时转动轴。,由于,流线方程,2,1,3,4,涡线方程,涡线不相交，并且,具有瞬时性。,涡管,-,由涡线组成的,管状曲面,。,涡管强度,-,涡管横截面积上的,涡通量,。,涡管的例子：,龙卷风,涡核部分像柱形的刚体一样高速旋转，,其流体质点都具有很大的旋转角速度；涡核区以外,的流体在涡核区流体的带动下作圆周运动，但其质,点的旋转角速度却为零。龙卷风涡核区的外边界可,以被近似地看成是一个涡管。,类似地，,江水、河水中的旋涡,也可以被近似地,当作涡管处理。,海姆霍茨定理,任一瞬间沿涡线方向涡管强度不变。,证明,在涡管管壁,A,0,上有,n,0,n,1,n,2,A,0,A,2,A,1,推论,在流场中涡管不能中断。,涡,管只可能以下列三种形式出现：,一端或者两端延伸到无穷远；,自身形成封闭环；,端部中止于物面或者其它边界。,例,抽烟者吐出的烟圈是封闭的涡环；,龙卷风一端始于水面，另一端升入云层；,河水中的旋涡一端始于水底河床，另一端终于水面。,2,开尔文（,Kelvin,）定理,在讨论无旋流动时，很自然要提出的问题是：,在什么条件下流动才有可能是无旋的？,开尔文定理,指出了,旋涡生成的原因,，因而能,够帮助我们对上述问题做出回答。,定义,如果质量力矢量可以表示为某函数的梯度，即，,例,重力场,是最常见的有势力场，,-,力势函数,则该质量力场为,有势质量力场,。,例,科里奥利力,是非有势质量力。,定义,如果流体密度只是当地压强的单值函数，即,-,压强函数,该流体为,正压流体,。,此时，可以定义一空间函数,或,又可以表示为,正压条件,定义,如果流体密度只是当地压强的单值函数，即,-,压强函数,该流体为,正压流体,。,此时，可以定义一空间函数,或者,例,等熵流动的均质气体,是,正压流体,例,密度是常数的,均质不可压缩流体,是,正压流体,例,大气层中的空气,不是,正压流体,，因为在大气层中,空气的密度不仅随压强变化，还与温度、湿度有关,。,例,考虑到温度、盐含量对密度的影响，,海水,不是,正,压流体,。,为了证明开尔文定理，首先推导一个运动学公式。,考察一条封闭的,流体线,L,，沿该封闭线速度环量为,流体线由,流体质点,构成，当流体质点发生运动，,流体线的,位置、形状和长度,都会产生变化。为了研,究沿流体线的速度环量随时间的变化，先研究沿流,体线上一个微段的速度积分对时间的变化率。,由矢量相加的运算法则得到,t,时刻：,d,s,t,+,t,时刻：,d,s,设,0,点速度矢量为,v,，,0,点速度矢量为,v,，,沿,d,s,的切向速度积分是,沿,d,s,的切向速度积分是,d,对时间的变化率为,沿整条曲线,L,的速度环量,对时间的变化率为,沿封闭流体线速度环量对时间的变化率等于加速度环量。,=0,理想,、,正压流体,在,有势质量力,作用下，,沿任意封,闭流体线的速度环量不随时间变化。,证明,理想流体,的运动方程为,对于,正压流体,：,对于,有势质量力,：,定理得证,开尔文,(,汤姆森,),定理,由斯托克斯定理，沿封闭流体线的速度环量等,于流体线所围曲面面积上的旋涡强度。既然速度环,量不随时间变化，旋涡强度也不会随时间变化。,如果在某一时刻流动无旋，则任意流体面上的,旋涡强度都等于零，在推论条件下，旋涡强度不随,时间变化，因此在此前和此后的所有时刻旋涡强度,也必定为零，所以流动也是无旋的。,推论,理想、正压流体,在,有势质量力,的作用下，只要,在某一时刻流动无旋,，在,此前和此后的所有时刻,流动也必定无旋,。,如果流动是由静止状态启动的，它将始终无旋。,开尔文爵士,(Lord Kelvin,1824-1907),1824,年生于爱尔兰的贝尔法,斯特，原名威廉,.,汤姆森,(William,Thomson),，,1845,年毕业于剑桥大,学，,1846,年起任格拉斯哥大学物,理学教授，因在装设大西洋海底,电缆中的突出贡献，,1892,年被封,为开尔文爵士。,开尔文在热学、电磁学、流,体力学、光学、地球物理、数学、,工程应用等方面都做出过杰出贡献，一生发表论文,600,余,篇，取得,发明专利,70,余种，其中在热学和电磁学等方面取,得的成就尤为出色，热力学温度,(K),使用了他的名字命名。,流体具有,粘性,，流体是,非正压,的和,非有势质量力,的作用是产生旋涡运动的原因。,流体粘性生成旋涡的例子,当流体流经物面时形成边界层，边界层是很薄的旋涡层。,速度的间断面会产生旋涡。,3,旋涡运动的生成,流体非正压生成旋涡的例子,大气层中的空气及海洋中的海水都是非正压流体。,海陆风、季风、赤道地区的贸易风是大气层中空,气非正压所产生的旋涡运动；,海洋环流是海水非正压所产生的旋涡运动。,非有势质量力生成旋涡的例子,拔掉澡盆的塞子会出现逆时针方向旋转的涡；,北半球逆时针方向旋转的台风和龙卷风；,地球自转的科氏力会在大气层中生成气旋。,在大量流体力学问题中，流体可以被当成是不可压,缩的或者是等熵的，也就是正压的；,除了大气层和海洋中的大尺度流动外，大多数情,况下只需要考虑重力而不必考虑地球自转的科氏,力的作用，所以质量力是有势的；,再如果流体的粘性影响又能够被忽略，那么就可,以认为,开尔文,定理成立的三个条件得到了满足。,所以说，,开尔文,定理的适用范围是很大的。无旋,流动理论可以被用于分析相当广泛的一类流动问题。,开尔文定理为无旋流动理论的应用提供了依据。,
展开阅读全文