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,单击此处编辑母版样式,单击此处编辑幻灯片母版样式,第二层,第三层,第四层,第五层,2019/2/2,#,2024/11/17,1,在,R,3,中,给定四个共面向量,a,1,a,2,a,3,a,4,它们显然是线性相关的,但它们中存在两个线性无关的向量,而任一个向量都可由这两个线性无关的向量线性表示,(,例如,:,a,1,a,2,线性无关,a,3,a,4,可由,a,1,a,2,线性表示,).,此外它们中任意三个向量是线性相关的,即它们中任一个线性无关的部分组最多只含,2,个向量,数,2,就叫作这个向量组的秩,.,2024/11/17,2,a,1,a,2,a,3,a,4,2024/11/17,3,定义,6,如果向量组,a,1,a,2,.,a,s,中存在,r,个线性无关的向量,且其中任一个向量可由这,r,个线性无关的向量线性表示,则数,r,称为,向量组的秩,记作 秩,a,1,a,2,.,a,s,=,r,.,显然,如果,a,1,a,2,.,a,s,线性无关,则秩,a,1,a,2,.,a,s,=,s,;,只含零向量的向量组的秩为零,.,2024/11/17,4,定义,7,如果向量组,b,1,b,2,.,b,t,中每个向量可由向量组,a,1,a,2,.,a,s,线性表示,就称前一个向量组可由后一个向量组线性表示,.,如果两个向量组可以互相线性表示,则称这两个向量组是,等价,的,.,2024/11/17,5,定理,4,如果向量组,b,1,b,2,.,b,t,可由向量组,a,1,a,2,.,a,s,线性表示,且,t,s,则,b,1,b,2,.,b,t,线性相关,.,证,设,验证,b,1,b,2,.,b,t,线性相关,考察,x,1,b,1,+,x,2,b,2,+.+,x,t,b,t,=,0,(3.11),即,2024/11/17,6,当,时,(3.11),式显然成立,.,而,(3.12),式是,t,个未知量,x,1,x,2,.,x,t,的齐次线性方程组,由于,t,s,(,方程个数,),故方程组,(3.12),式有非零解,即有不全为零的,x,1,x,2,.,x,t,使,(3.11),式成立,所以,b,1,b,2,.,b,t,线性相关,.,2024/11/17,7,推论,1,如果向量组,b,1,b,2,.,b,t,可由向量组,a,1,a,2,.,a,s,线性表示,且,b,1,b,2,.,b,t,线性无关,则,t,s,.,推论,2,若秩,a,1,a,2,.,a,s,=,r,则,a,1,a,2,.,a,s,中任何,r,+1,个向量都是线性相关的,.,证,不妨设,a,1,a,2,.,a,r,是向量组,a,1,a,2,.,a,s,中的,r,个线性无关的向量,由于该向量组中任一个向量可由,a,1,a,2,.,a,r,线性表示,由定理,4,立即可得其中任何,r,+1,个向量都线性相关,.,2024/11/17,8,如此,向量组的秩可等价地定义为,:,若向量组中存在,r,个线性无关的向量,且任何,r,+1,个向量都线性相关,就称数,r,为,向量组的秩,.,由此可知,秩为,r,的向量组中,任一个线性无关的部分组最多只含,r,个向量,.,因此,秩为,r,的向量组中含有,r,个向量的线性无关组,称为该向量组的极大线性无关组,.,一般情况下,极大线性无关组不唯一,但不同的极大线性无关组所含向量个数是相同的,.,2024/11/17,9,推论,3,设秩,a,1,.,a,s,=,p,秩,b,1,.,b,t,=,r,如果向量组,b,1,.,b,t,可由向量组,a,1,.,a,s,线性表示,则,r,p,.,证,不妨设,a,1,.,a,p,和,b,1,.,b,r,分别是两个向量组的极大无关组,因此有,又已知,2024/11/17,10,即,b,1,.,b,r,可由,a,1,.,a,p,线性表示,于是由推论,1,可得,r,p,.,由推论,3,立即可得,等价的向量组的秩相等,.,2024/11/17,11,3.2,矩阵的秩,2024/11/17,12,对于矩阵,A,把它的每一行,(,列,),称为,A,的一个行,(,列,),向量,把,A,的行,(,列,),向量组的秩称为,A,的行,(,列,),秩,.,显然,m,n,矩阵,A,的行秩,m,列秩,n,.,2024/11/17,13,阶梯形矩阵,(,其中,a,11,0,a,23,0,a,34,0),的行秩,=3,列秩,=3,2024/11/17,14,这是因为,把,A,按行和按列分块为,则,(i),由,x,1,a,1,+,x,2,a,2,+,x,3,a,3,=0,可推出数,x,1,x,2,x,3,必须全为零,故,a,1,a,2,a,3,线性无关,而,a,4,=,O,因此,A,的行秩等于,3.,(ii),由,y,1,b,1,+,y,3,b,3,+,y,4,b,4,=0,可推出数,y,1,y,2,y,4,必须全为零,故,b,1,b,3,b,4,线性无关,又易见,A,的任意,4,个列向量都线性相关,),则,A,的列秩等于,3.,2024/11/17,15,由此例可得一般结论,:,阶梯形矩阵的行秩等于列秩,其值等于阶梯形矩阵的非零行的行数,.,用高斯消元法解线性方程组,AX,=,b,的消元步骤,是对增广矩阵,A,b,作初等行变换将其化为阶梯形矩阵,而初等行变换的倍乘,倍加变换实际是对行向量作线性运算,因此,需要研究初等行变换是否改变矩阵的行秩和列秩,.,2024/11/17,16,定理,1,如果对矩阵,A,作初等行变换将其化为,B,则,B,的行秩等于,A,的行秩,.,证,只需证明作一次行初等变换不改变矩阵的行秩,.,设,A,是,m,n,矩阵,A,的,m,个行向量记作,a,1,a,2,.,a,m,.(i),对换,A,的某两行位置,所得到的矩阵,B,的,m,个行向量是,A,的,m,个行向量,显然,B,的行秩等于,A,的行秩,.(ii),把,A,的第,i,行乘非零常数,c,得,B,则,B,的,m,个行向量,a,1,a,2,.,c,a,i,.,a,m,显然,B,的行向量组与,A,的行向量组是等价的,因此,B,的行秩,等,于,A,的行秩,.,2024/11/17,17,显然,B,的行向量组可由,A,的行向量组线性表示,又,a,j,=-,c,z,i,+,z,j,a,k,=,z,k,(,k,j,),所以,A,的行向量组也可由,B,的行向量组线性表示,因此,A,与,B,的行秩也相等,.,2024/11/17,18,由定理,1,可知,对线性方程组,AX,=,b,的增广矩阵,A,b,不论怎样作行初等变换将其化为阶梯形矩阵,其非零行的行数都等于,A,b,的行秩,.,2024/11/17,19,初等行变换也不改变矩阵的列秩,这是因为,定理,2,对矩阵,A,作初等行变换化为,B,则,A,与,B,的任何对应的列向量组有相同的线性相关性,即,:,2024/11/17,20,证,对,A,作初等行变换化为,B,就是用若干初等阵,P,1,.,P,s,左乘,A,使之等于,B,记,P,=,P,s,.,P,2,P,1,即有,PA,=,B,.,从而,P,a,j,=,z,j,j,=1,2,.,n,.,取,则齐次线性方程组,A,1,X,1,=,O,与,B,1,X,1,=,O,(,即,PA,1,X,1,=,O,),显然是同解方程组,.,即,A,1,与,B,1,的列向量组有相同的线性相关性,.,2024/11/17,21,定理,2,也提供了求向量组的秩及其极大线性无关组的一个简便而有效的方法,.,即,如果要求一组给定的向量组的秩和极大无关组,则将这组向量组按列向量排成矩阵,A,对矩阵,A,作一系列行初等变换将其变为行简化阶梯矩阵,则首项变元所在的列,对应的列向量就是极大无关组,.,首项变元的个数就是向量组的秩,.,并容易从行简化阶梯矩阵中看出其余向量和极大无关组向量间的线性关系,.,2024/11/17,22,例,1,设向量组,:,a,1,=,-,1,-,1,0,0,T,a,2,=1,2,1,-,1,T,a,3,=0,1,1,-,1,T,a,4,=1,3,2,1,T,a,5,=2,6,4,-,1,T,.,试求向量组的秩及其一个极大线性无关组,并将其余向量用这个极大线性无关组线性表示,.,解,作矩阵,A,=,a,1,a,2,a,3,a,4,a,5,对,A,作初等行变换将其化为行简化阶梯阵,即,2024/11/17,23,2024/11/17,24,2024/11/17,25,2024/11/17,26,2024/11/17,27,将,U,记作,z,1,z,2,z,3,z,4,z,5,.,易见,z,1,z,2,z,4,是,U,的一个极大无关组,2024/11/17,28,易见,z,1,z,2,z,4,是,U,的一个极大无关组,所以,a,1,a,2,a,4,也是,A,的列向量组的一个极大无关组,故秩,a,1,a,2,a,3,a,4,a,5,=3,令,x,1,a,1,+,x,2,a,2,+,x,4,a,4,=,a,3,y,1,a,1,+,y,2,a,2,+,y,4,a,4,=,a,5,用高斯消元法解这两个线性方程组可利用阶梯阵,U,得,2024/11/17,29,得,a,3,=,a,1,+,a,2,a,5,=,a,1,+2,a,2,+,a,4,.,如果只需求向量组的秩和极大线性无关组,只要对,A,作初等行变换将其化为一般的阶梯阵,而不必化为行简化阶梯阵,.,2024/11/17,30,由定理,1,和定理,2,可以推出,:,初等列变换也不改变矩阵的列秩和行秩,.,因为对,A,作列变换就是对,A,T,作行变换,A,T,的行,(,列,),秩就是,A,的列,(,行,),秩,.,于是就有,定理,3,初等变换不改变矩阵的行秩和列秩,.,由定理,1,和定理,2,还可推出下面的定理,.,定理,4,矩阵,A,的行秩等于其列秩,.,证,对,A,作初等行变换将其化为阶梯阵,U,则有,A,的行秩,=,U,的行秩,=,U,的列秩,=,A,的列秩,.,2024/11/17,31,由于矩阵的行秩和列秩相等,给出下列定义,.,定义,1,矩阵,A,的行秩的数值称为矩阵,A,的秩,记作,:,秩,(,A,),或,r,(,A,).,定理,5,n,阶矩阵,A,的秩等于,n,的充要条件是,A,为非奇异矩阵,(,即,|A|,0).,证,若,r,(,A,)=,n,则对,A,作初等行变换可将其化为有,n,个非零行的行简化阶梯矩阵,(,即单位阵,I,),也就是,存在可逆阵,P,使,PA,=,I,故,|,A,|0,则齐次线性方程组,AX,=,O,只有零解,故,A,的,n,个列向量线性无关,即,r,(,A,)=,n,.,2024/11/17,32,定义,2,矩阵,A,=,a,ij,m,n,的任意,k,个行,(,i,1,i,2,.,i,k,行,),和任意,k,个列,(,j,1,j,2,.,j,k,列,),的交点上的,k,2,个元素按原顺序排成的,k,阶行列式,称为,A,的,k,阶,子行列式,简称,A,的,k,阶,子式,其值等于零,(,不等于零,),时,称为,零子式,(,非零子式,).,如,j,1,=,i,1,j,2,=,i,2,.,j,k,=,i,k,时,称为,A,的,主子式,.,2024/11/17,33,如矩阵,A,存在,r,阶非零子式,而所有,r,+1,阶子式,(,如果存在,),都等于零,则矩阵,A,的非零子式的最高阶数为,r,因为由所有,r,+1,阶子式都等于零可推出所有更高阶的子式都等于零,.,定理,6,秩,(,A,)=,r,的充要条件是,A,的非零子式的最高阶数为,r,.,证,必要性,设秩,(,A,)=,r,即,A,的行秩为,r,不妨设,A,的前,r,个行向量线性无关,把,A,的前,r,个行作成的矩阵记作,A,1,则,A,1,的列秩,=,A,1,的行秩,=,r,不妨再设,A,1,的前,r,个列向量线性无关,.,如此,由定理,5,可知,A,的左上角,r,阶子式为非零子式,.,2024/11/17,34,又因为,A,的任意,r,+1,个行向
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