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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,例题分析,例,1,已知一腰和底边上的高，求作等腰三角形。,分析：,我们首先在草稿上画好一个示意图，然后对照此图写出已知和求作并构思整个作图过程,已知：线段,a,、,h,求作：,ABC,，使,AB=AC=a,，高,AD=h,作法：,1,、作,PQMN,，垂足为,D,2,、在,DM,上截取,DA=h,3,、以点,A,为圆心，以,a,为半径作弧，交,PQ,于点,B,、,C,4,、连结,AB,、,AC,则,ABC,为所求的三角形。,尺规作图与通常的画图题不同，它规,定只准用直尺和圆规为工具，而且每一步,都必须有根有据不能随便画。对于较复杂,的作图题，要经过严格的分析，才能找到,作图的根据和方法，这对推理能力的要求比较高。,归纳,:,例,2.,如图，已知在,ABC,中，,AB=AC,，,BDAC,于,D,，,CEAB,于,E,，,BD,与,CE,相交于,M,点。求证：,BM=CM,。,证明：,AB=AC,ABC=ACB,（等边对等角）,BDAC,于,D,，,CEAB,于,E,BEC=CDB=90,1+ACB=90,，,2+ABC=90,（直角三角形两个锐角互余）,1=2,（等角的余角相等）,BM=CM,（等角对等边）,说明：本题易习惯性地用全等来证明，虽然也可以证明，但过程较复杂，应当多加强等腰三角形的性质和判定定理的应用。,已知：如图,AB=AC,，,DB=DC,证明,:ABD=ACD,A,B,C,D,想一想,:,如何添加辅助线,?,思考题,2,：,已知：如图，,AB=AC,，,C=B,，,证明,:BD=CD,克服思维定势,例,3.,已知：如图，,A=90,，,B=15,，,BD=DC.,求证：,AC=BD.,证明：,BD=DC,，,B=15,DCB=B=15,（等角对等边）,ADC=B+DCB=30,（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）,A=90,AC=DC,AC=BD,例,4.,如图，已知,ABC,中，,AB=AC,，,BD=BC,，,AD=DE=EB.,求,A,的度数,.,分析：本题有较多的等腰三角形的条件，最好用列方程组的方法来求解，应当在图形上标出各未知数，可使解题过程清晰明了。,解：设,A=,x,，,EBD=,y,，,C=,z,AB=AC,ABC=C=,z,BD=BC,C=BDC=,z,BE=DE,EBD=EDB=y,AD=DE,A=AED=,x,又,BDC=A+ABD,，,AED=EBD+EDB,（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）,A+ABC+ACB=180,（三角形内角和为,180,）,解得,x,=45,即：,A=45,如图，在,ABC,中，,AB=AC,，点,D,、,E,分别在,AC,、,AB,上，且,BC=BD=DE=EA,，求,A,的度数。,例,5.,已知：如图，,C=90,，,BC=AC,，,D,、,E,分别在,BC,和,AC,上，且,BD=CE,，,M,是,AB,的中点,.,求证：,MDE,是等腰三角形,.,分析：要证,MDE,是等腰三角形，只需证,MD=ME,。连结,CM,，可利用,BMDCME,得到结果。,证明：连结,CM,C=90,，,BC=AC,A=B=45,M,是,AB,的中点,CM,平分,BCA,（等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线重合）,MCE=MCB=BCA=45,B=MCE=MCB,CM=MB,（等角对等边）,在,BDE,和,CEM,中,BDMCEM,（,SAS,）,MD=ME,MDE,是等腰三角形,例,6.,如图，在等边,ABC,中，,AF=BD=CE,，求证：,DEF,也是等边三角形,.,证明：,ABC,是等边三角形,AC=BC,，,A=C,CE=BD,BC,BC=AC,CE,CD=AE,在,AEF,和,CDE,中,AEFCDE,（,SAS,）,EF=DE,同理可证,EF=DF,EF=DE=DF,DEF,是等边三角形,说明：证明等边三角形有三种思路：,证明三边相等,证明三角相等,证明三角形是有一个角为,60,的,等腰三角形。,具体问题中可利用不同的方式进行求解。,例,7,如图,2-8-1,中，,AB=AC,，,D,为,AB,上一点，,E,为,AC,延长线上一点，且,BD=CE,，,DE,交,BC,于,G,求证：,DG=EG,思路 因为,GDB,和,GEC,不全等，所以考虑在,GDB,内作出一个与,GEC,全等的三角形。,证明：过,D,作,DHAE,，交,BC,于,H,AB=AC,DB=DH,又,DB=CE,DH=CE,又,DG=EG.,说明 本题易明显得出,DG,和,EG,所在的,DBG,和,ECG,不全等，故要构造三角形的全等，本题的另一种证法是过,E,作,EFBD,，交,BC,的延长线于,F,，证明,DBGEFG,，同学们不妨试一试。,例,8,如图,2-8-6,，在,ABC,中，,AB=AC=CB,，,AE=CD,，,AD,、,BE,相交于,P,，,BQAD,于,Q.,求证：,BP=2PQ,思路,在,RtBPQ,中，本题的结论等价于证明,PBQ=30,证明 ,AB=CA,，,BAE=ACD=60,，,AE=CD,，,BAEACD,ABE=CAD,BPQ=ABE+BAP,=CAD+BAP=60,又,BQAD,PBQ=30,BP=2PQ,说明 本题把证明线段之间的关系转化为证明角的度数，这种转换问题的方法值得同学们细心体会。,
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