一致完全可控性的判据引理

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,第六章,时变线性系统,本章将主要讨论线性时变系统的一致可控性和一致可观测性问题，为今后的学习建立一定的基础。,第二章已讨论了系统在,t,0,时刻的可控性和可观测性问题。但在最优控制、系统辨识、自适应控制及其它系统的分析中，往往需要对可控性或可观测性给出更强的条件。此外，即使对象是时不变的，由于有时要将控制器设计成时变的，则整个闭环系统仍然是时变系统，这时，利用一致可控性等概念进行系统分析就不可避免。,从工程应用角度，可用时变线性系统近似描述的典型系统是：,飞机在标称高度和速度附近变化时的动态特性；,空间站的运动。空间站的运动可用非线性微分方程组描述，线性化之后，线性模型的参数仍会在一个大范围内变化，难以用定常线性系统来描述；,化工过程中热传导速度的控制、一些化学反映的动态过程等都是高度非线性的，其工作点和参数变化剧烈，因此，即使线性化后也要用时变线性系统来近似。,参考文献：,Linear Time-Varying Systems:Control and Adaptation,.K.S.Tsakalis and P.A.Ioannou.,式中,u,是,p,维输入向量，,y,是,q,维输出向量，并假定状态方程满足解存在和唯一性条件。,第二章已清楚，时变线性系统的一些重要性质，如可控性、可达性、可观测性、可重构性等均 和所研究的时刻,t,0,有关，因此就提出这些性质对,t,是否具有一致性的问题。在时变系统的设计中，一致性常常是设计问题有解的条件。,本章所考虑的,n,维线性时变系统的方程为,（61）,首先，时变系统的分析和设计中会遇到哪些问题？时变系统的特点是什么？,对于时不变系统：特征值对应于系统运动的模式，特征值的分析可以对系统的稳定性给出完整的回答。而时变系统的主要困难是，没有一个方法能在给定矩阵,A,(,t,),后就能判断系统的稳定性；求状态转移矩阵则是一项十分困难的工作。,在研究方法上，显然复数域的方法一般不再适用，所采取的完全是时域的方法。,本章仅介绍一致完全可控性、一致完全可观测性及相关的知识。,定义6-1,（一致完全可控性）线性时变系统（6-1)为一致完全可控的，如果,存在,0,以及与,有关的正数,i,(,)(,i,=1,2,3,4),，,使得,对所有,t,(,+),1.定义,p15,p20,p21,一、一致完全可控性的定义和判据,注意：,对,n,n,实对称阵,A,B，,A,B,x,T,(,A,B,),x,0，,即,A,B,正定；,A,B,A,B,为半正定。,讨论：,由第二章：,(,A,(,t,),B,(,t,),在,t,0,时刻可控的充分必要条件是存在有限的,t,1,t,0,，,使得,W,(,t,0,t,1,),非奇异。注意到,W,(,t,0,t,1,),至少半正定，故非奇异意味其正定。易见，满足上述矩阵不等式，,W,正定。,2）条件(6-3)等价为如下的可达性条件(,p,.46)：,一致可控性保证在时间定义域内,任何时刻,的状态转移均可在时间间隔,内完成，而与时间的起点无关。这里所说的状态转移，包括了,从,t,时刻的任何状态转移到,t,+,时刻的零状态（可控）,从,t,时刻的零状态转移到,t,时刻的任意状态（可达）,这两点分别由（6-2）式与（6-3）式所保证。,t,t,t,+,采用第二章（习题）中的方法，可以证明，控制,可,在时间段,中,将时刻,x,(,t,),的任意状态转移到时刻,x,(,t,+,),的任意状态,x,1,。,若系统仅仅是可控的，则完成状态转移可能需要很长的时间，或者要求控制的幅度极大,。,然而，若其是一致完全可控的，则总能在长度为,的一段时间完成，此外，控制输入的幅度不会是任意大的（正比于,W,1,)。,在最优控制理论中，为了保证系统的稳定性，有时需要一致完全可控这一条件。,例,6-1,考虑一维线性系统,系统是可控的，因为对任意的,t,0,，,W,(,t,0,t,1,)0。,但不是一致完全可控的。事实上，因,=,I,，,当,t,充分大时，因子,e,2,t,可任意地小,故使,成立的,1,(,),不存在。这说明在任意,t,0,时刻可控不一定有一致完全可控。,一致完全可控一定可推得在,t,0,时刻的可控性，但反之一般不成立。,例6-2,一维线性系统,若选择,=5，有,t,1 2,b,(,t,),此时,(6-2)式成立。又因为,=,I,，所以(6-3)式也成立。,在,(,+,),内系统是一致完全可控的，当然也是可控的。,2.,W(,t,0,t,1,),的一些性质,定义6-1表明，判别一个系统的一致可控性有赖于,W,(,t,0,t,1,)，,因此，首先研究,W,(,t,0,t,1,),的一些性质。,定理6-1,可控性矩阵,W,(,t,0,t,),具有如下性质：,（1）,W,(,t,0,t,),是对称的;,（2）,W,(,t,0,t,1,),对于,t,1,t,0,是非负定的;,（3）,W,(,t,0,t,),满足线性矩阵微分方程：,（4）,W,(,t,0,t,1,),满足,(6-9),(6-8),则系统一致完全可控的充分必要条件为：存在,0,及,0,(,),使得对一切,t,成立,(,四个不等式变成一个不等式,),p6,p20,。,定理的证明需要用到如下两个引理：,定理6-2：,若,A,(,t,),及,B,(,t,),有界，即存在,K,使得对任意的,t,，,均有,3.一致完全可控性的判据,引理1,(,Bellman-Gronwall,不等式）:,设,则有,以及存在常数,c,0，,使得,对方程两边从,t,0,到,t,积分，即可将初值问题转换为一个积分方程：,引理1之应用,两边取范数，就可用上述公式。事实上,利用,Bellman,不等式，并注意到 有,这样就证明了如下引理：,在下面对定理6-2的证明中，需要如下有关,n,n,实对称正定阵,A,B,的知识：,引理 2,系统 的矩阵,A,(,t,),有界、即存在,K,，,使得对一切,t,有 成立，则其状态转移矩阵满足不等式,定理6-2的证明,p15,：,必要性显然。,充分性,：,1）,证明,此式与(6-9)一起就证明了(6-2),p6,。,为此，只要利用,B,(,t,)0，(6-3),均不可能成立，因此该系统不是一致完全可控的。,定理6-2说明在有界的条件下，对可控性具有一致性即对可达性也具有一致性，因而是一致完全可控的。定理6-2的条件并不苛刻，由于状态转移矩阵不易求得，故该定理在系统分析中是应用得比较广泛的。,二、一致完全可观测的定义和判据,其定义和判判据与一致完全可控是对偶的。,定义6-2,（一致完全可观测性）线性时变系统（6-1）称为一致完全可观测的，如果存在,0,以及与,有关的正数,i,(,)(,i,=1,2,3,4),，,使得对所有,t,(,+,)，,一致完全可观测的概念及其相应的定理在最优控制中会用到。,因一大类自适应控制系统是时变线性系统，一致完全可观测的概念在讨论参数收敛性时是必不可少的工具。,B-G,不等式,上个世纪微分方程研究领域最重要的成果之一，它和小增益定理一起，是许多控制系统稳定性分析和设计中不可或缺的工具。本章介绍的是,B-G,引理的简化形式，其一般形式可叙述如下：,贝尔曼不等式还有若干其它变化形式，称为,B-G1,、,B-G2,、,B-G3,不等式等等。,已知,A,阵是稳定的，即,A,的所有特征值均具负实部，,B,阵是一个常量阵，表示建模误差。试用上述,Bellman,不等式建立使矩阵,A,c,仍然稳定时,B,阵应满足的条件。,最优控制理论的创立应归于苏联数学家庞特里亚金和贝尔曼的工作，其背景是苏联和美国在太空领域的激烈较量。1956年，庞特里亚金将最优控制过程正确地描述为具有约束的非古典变分学问题，同时以猜想的形式提出了解决该问题的数学方法，即,最大值原理,。1960年，他完成了最大值原理的严格证明，这导致最优控制理论的诞生。,贝尔曼,:,美国数学家，现代控制理论的主要奠基人，,主要贡献是提出了最优控制的“动态规划”方法。,