3.1.1不等关系与不等式解析

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,3.1.1,不等关系与不等式,含有这些不等号,1.用数学符号“”，“”,“,b,b,c,a,c,;,（2）,a,b,a,+,c,b+c,;,（3）,a,b,c,0 ,ac,bc,;,（4）,a,b,c,b,c,d,a,+,c,b,+,d,;,（6）,a,b,0,c,d,0,ac,bd,;,（7）,a,b,0,n,N，,n,1,a,n,b,n,;,（8）,a,b,0,n,N,n,1,.,学点一,不等式的概念,铁路旅行常识规定：,“一、伴同成人旅行身高1.11.4米的儿童，享受半价客票以下称儿童票，超过1.4米时应买全票，每一成人旅客可免费带一名身高缺乏1.1米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票.,十、旅客每人免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部尺寸长、宽、高之和不超过160厘米，杆状物品不超过200厘米，重量不得超过20千克”,设儿童身高为h m，物品外部尺寸长、宽、高之和为p cm，请在下表空格内填上对应的数学符号,并与同学沟通.,【解析】,符号表示1.1,h,1.4,h,1.4,h,0，,因此,x,2,x,x,2.,例3.,比较,与,的大小.,解：x,3,(x,2,x+1)=x,3,x,2,+x1,=x,2,(x1)+(x1),=(x1)(x,2,+1),x,2,+10，,当x1时，x,3,x,2,x+1；,当,x,=1时，,x,3,=,x,2,x,+1，,当,x,1时，,x,3,n0,a0,比较am+a-m与an+a-n的大小.,【解析】,【评析】作差法比较大小，关键是推断差的符号，应留意应用函数性质.,学点二 不等式的性质,【分析】假设要推断上述命题的真假，依据就是实数集的根本性质和实数运算的符号法则及不等式的根本性质，经过合理的规律推理即可推断.,例5.,对于实数,a,，,b,，,c,，判断下列命题的真假.,(1)若,a,b,则,ac,bc,2,则,a,b,；,(3)若,a,b,ab,b,2,；,(4)若,a,b,|,b,|；,(5)若,c,a,b,0,则.,(6)若,a,b,则,a,0,b,bc,2,，知,c,0,c,2,0,0.,故该命题为真命题.,（3）由,a,2,ab,.,由,abb,2.,a,2,ab,b,2,.,故该命题为真命题.,a,b,a,0,a,b,b,b,0 -,a,a,b,0 0,c,a,b,a,0,b,b,2,-,x,a,2,-,x,b,;,（2）,a,b,c,d,a,-,c,b,-,d,;,（3）,a,b,c,b,0 ,a,n,b,n,(,n,N,n,1).,解:以不等式的性质为起点,逐一验证每一个命题的真伪.,（1）成立.2,-,x,0,由性质知2,-,x,a,2,-,x,b,;,（2）不成立.令,a,=5,b,=4,c,=3,d,=1时，有,a,-,c,b,0,c,0时显然有 ;,（4）不成立.|,a,|,b,0|,a,|,n,b,n,但|,a,|,n,与,a,n,可能相等，也可能互为相反数.,学点三利用不等式的性质证明不等式,【分析】恰当使用不等式性质进展变形是关键.,（1）已知,a,b,，求证：,a,0,且,b,b,0,c,d,0,求证：,ac,b,0,c,d,b,0,c,d,0,求证：.,例7.,【解析】,【评析】只有同向时不等式才能相加，两边同乘除某一数式时，确定要留意其正负，必要时要分类争论.,例,8.,（1）如果30,x,36，2,y,6，求,x,2,y,及 的取值范围。,18,x,2,y,32,，,2假设3ab1，2c1，求(ab)c2的取值范围。,由于4ab0，1c24，,所以16(ab)c20,学点四应用不等式的性质争论范围,已知 ,求 ,的范围.,【分析】,已知的不等式相当于,所以本题其实就是已知单角范围求和角、差角范围，所以要进行不等式的加减.但我们只有这样的性质：同向不等式可相加，那么要进行不等式相减怎么办？那只有将其转化为同向不等式再相加.,例9.,【解析】,【评析】两个不等式要相减时，不能直接相减，而要转化为同向相加：-=+(-).同时要注意，本题中的 取不到等号，而 左边可以取到等号，这一点极易出错.,例,10,求:,的取值范围.,已知:函数,解：由于f(x)=ax2c,所以,解之得,所以,f,(3)=9,a,c,=,由于,所以,两式相加得1,f,(3)20.,练习：4ab1，14ab5，求9ab的取值范围。,解：设,9,a,b,=,m,(,a,b,)+,n,(4,a,b,),=(,m,+4,n,),a,(,m,+,n,),b,，,令,m,+4,n,=9,，,(,m,+,n,)=,1,，解得，,所以9,a,b,=,(,a,b,)+,(4,a,b,),由,4,a,b,1,，得,由,14,a,b,5,，得,以上两式相加得,19,a,b,20.,例11.甲、乙两位选购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食同一品种，两次粮食的价格不同，两位选购员的购粮方式也不同.其中，甲每次购置1 000 kg,乙每次购粮用去1 000元钱，谁的购粮方式更合算？,解：,设两次价格分别为,a,元，,b,元，则甲的平均价格为,元，乙的平均价格为,.乙合算.,1.不等关系ab或ab的含义是什么？,不等式ab应读作“a小于或者等于b”，其含义是指“或者ab，或者a=b”等价于“a不大于b”，即假设ab或a=b之中有一个正确，则ab正确.,如23正确，则23没有规律错误，由于2,3是具体数值，“2b(a,b)|a=b，同理，(a,b)|ab=(a,b)|ab，或者a=b”,等价于“a不小于b”,即假设ab或a=b之中有一个正确，则ab正确.,2.如何理解不等式的性质?,(1)性质1说明把不等式的左边与右边交换，所得的不等式与原不等式异向.,2性质2说明不等式的传递性供给了两个实数a,c在比较大小时的一种间接方法媒介法即通过中间值作媒介来比较大小，同时它也是对不等关系作适当放缩的依据.,3性质3说明有了不等式的加法单调性，不等式的移项法则也就有了理论依据，因而不等式就可以像方程一样地变形、化简；这里的推论还可以推广到任意有限个同向不等式两边可以分别相加，也就是说，多个同向不等式两边分别相加，所得的不等式与原不等式同向.,4性质4说明在一个不等式的两边同乘一个非零实数时，不等号是否改向取决于所乘的这个数的正负性；在性质4的推论中，要留意全部的字母都是正数，例如，假设仅有ab,且cd，就不能推出acbd；同时有两个异号不等式，如ab0,0bd.,不等式的性质刻画了在一定条件下两个量的不等关系，值得注意的是其中有一类具有充要性的特征，条件和结论可互相推出，解不等式的每一变形只能依据这一类性质，才能保证变形的同解性；另一类性质只具有充分性的特征，它可以作为证明不等式的依据，但不能作为解不等式的依据.,3.应用不等式的性质应留意什么？,另外留意不要强化或弱化不等式性质成立的条件.例如，在应用“ab,ab0 ”这一性质时，有些同学可能是弱化了条件，得到ab ，也可能是强化了条件，而,，得到ab0 .,1.不等关系是这一章的理论根底，是比较两个实数或代数式的大小的理论根底.比较法中的作差法，实际上是比较这两个实数或代数式的值的大小，而这又归纳为推断它们差的符号，这又必定归纳到实数运算的符号法则.,2.不等式的性质是不等式的根底，包括四共性质定理及五个推论.不等式的性质是解不等式和证明不等式的主要依据，只有正确地理解每条性质的条件和结论，留意条件的变化，才能正确地加以运用.利用不等式的性质，寻求命题成立的条件是不等式性质的灵敏运用.,3.对于假命题只需举一反例即可，固然亦可从条件入手推出与结论相反的结论.,4.解决此类问题确定要在理解的根底上记准、记熟不等式的七条性质.,