材料力学第11章压杆稳定

,*,出版社 理工分社,材料力学,单击此处编辑母版文本样,退出,页,第,11,章 压杆稳定,11.1压杆稳定的概念例如，支承机械的千斤顶见图11.1、托架中的压杆见图11.2等，可能在工作时被压弯，发生较大的弯曲变形进而折断，这就是稳定性问题。图11.1 图11.2下面以如图11.3所示的两端铰支的细长压杆来说明这类问题。在杆件两端施加轴向压力F，当压力F较小时，压杆保持直线平衡状态，图11.3假设给杆件一,个微小的侧向干扰力使其发生轻微弯曲见图11.3a，当干扰力消除后，杆件将恢复其直线平衡状态见图11.3b，此种平衡状态称为稳定平衡。当轴向压力F增大到某一定值时，杆件仍可暂时维持直线平衡状态，但假设给杆件一个微小的侧向干扰力使其轻微弯曲，在干扰力消除后，压杆将不能恢复直线平衡而处于微弯平衡状态见图11.3c，此种平衡状态称为非稳定平衡。压杆由稳定平衡状态过渡到非稳定平衡状态，称为丧失稳 图11.3定性，简称为失稳，也称屈曲。不难看出，压杆能否保持稳定，与压力F的大小有着密切的关系。随着压力F的逐渐增大，压杆就会失稳。这就是说，轴向压力的量变，将引起压杆平衡状态的质变。压杆从稳定平衡过渡到非稳定平衡时的压力临界值称为临界压力，以Fcr表示。显然，当压杆所受的压,力到达临界值时，压杆开始丧失稳定。由此可见，确定压杆临界压力的大小，将工作压力控制在临界压力范围内，是解决压杆稳定问题的关键。当然，除了压杆以外，某些其他构件也存在稳定性问题。例如，薄壁球形容器在径向压力作用下的变形见图11.4a；狭长矩形截面梁在弯曲时的侧弯失稳见图11.4b；两铰拱在竖向载荷作用下变为虚线所示形状而失稳见图11.4c等。这些都是稳定性问题，在工程设计中应当注意。本章仅讨论中心受压直杆的稳定性问题。图 11.4,11.2不同约束条件下细长压杆的欧拉公式两端铰支细长压杆的临界压力两端为球铰支座的中心受压细长直杆如图11.5所示。如前所述，当压力到达临界值Fcr时，在横向因素的干扰下，压杆可在微弯状态下保持平衡。可见，临界压力Fcr就是使压杆保持微弯平衡的最小压力。图11.5建立如图11.5所示坐标系xOy，距原点为x的任意截面的挠度为v。由截面法，该截面的弯矩为,式a)右端的负号是由于图示坐标系中弯矩M与挠度v恒为异号。在小变形的前提下，挠曲线近似微分方程为式7.5，即由于两端是球铰，允许杆件在任意纵向平面内发生弯曲变形，因而杆件的微小弯曲变形一定发生在抗弯能力最小的纵向平面内。所以，上式中的I应是横截面的最小惯性矩。将式a代入式b，得令于是式c改写为一常系数线性二阶齐次微分方程,此微分方程的通解为式中A，B积分常数，可由杆的边界条件来确定。杆的边界条件为：x=0和x=l时，v=0。代入式f，得其中第2个式子只有在A=0或sin kl=0时才成立。结合B=0，假设A=0，那么由式f知v0，压杆任意截面的挠度均等于零，即压杆并无弯曲而处于直线平衡状态，这与在临界力作用下压杆保持微弯的平衡状态这一前提不相符，因此，必然是使上式成立的kl值为,其中,n为任意整数，即n=0，1，2，。由此可得上式代入式d，得因为n为任意整数，所以使压杆保持微弯平衡状态的临界压力在理论上可以有无穷多个。但实际上，当压杆在最小临界压力作用下，就已经处于由稳定平衡向不稳定平衡过渡的临界平衡状态并将丧失稳定性了。但n=0，不符合要求。所以当n=1时，Fcr为最小值，这就是保证压杆平安工作的临界压力Fcr，即这就是两端铰支细长压杆临界压力的计算公式，由于最早是由欧拉导出的，所以也称为两端铰支细长压杆的欧拉公式。式11.1说明Fcr与抗弯刚度,EI成正比，与杆长的平方l2成反比。压杆失稳时，总是绕抗弯刚度最小的轴发生弯曲变形。将k=/l代入式f，得压杆的挠度方程为可见，在两端铰支的情况下，压杆微弯的挠曲线为半个正弦波曲线，在x=l/2处，最大挠度vmax=A。其他约束条件下细长压杆的临界压力表11.1概括了上述几种工程实际中常见的理想约束条件下细长压杆的挠曲线形状及其相应的欧拉公式表达式。,由表11.1可知，对于各种不同的约束条件下的等截面中心受压细长直杆的临界压力的计算公式可写成统一的形式例11.1如图11.6所示，一端固定，一端自由的细长压杆用22a工字钢制成，压杆长度l=4 m，弹性模量E=210 GPa。试用欧拉公式计算此压杆的临界压力。解压杆一端固定，一端自由，长度因数=2。由型钢表可以 图11.6查得22a工字钢，Iz=3 400 cm4，Iy=225 cm4。所以，根据式11.2压杆的临界压力为,11.3欧拉公式的适用范围经验公式计算临界应力的欧拉公式压杆在弹性范围内失稳时，其在临界压力作用下横截面上的平均应力称为临界应力，用cr表示。假设压杆的横截面面积为A，那么临界应力为把横截面的惯性矩I写成式中i为截面的惯性半径，那么式a改写为令,式b改写为式11.4即为计算细长压杆临界应力的欧拉公式，是公式11.2的另一种表达形式，两者并无实质性差异。式中为无量纲的量，称为柔度或长细比。它集中反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形状对临界应力的综合影响。由公式11.4看出，压杆的临界应力与其柔度的平方成反比，压杆的柔度越大，其临界应力越小，压杆越容易失稳。可见柔度在压杆稳定计算中是一个非常重要的参数。欧拉公式的适用范围在推导压杆临界压力的欧拉公式时，使用了挠曲线的近似微分方程，而该方程是在材料服从胡克定律即在线弹性范围内才成立的。因此，欧拉公式的应用也有其适用的范围，即压杆的临界应力不能超过材料的比例极限。所以,由此可得式中比例极限p及弹性模量E均是只与材料有关的参数。假设令那么式11.6即为欧拉公式的适用范围。也就是说，只有当压杆的实际柔度大于或等于柔度临界值p时，欧拉公式才适用。计算临界应力的经验公式1直线型经验公式直线型经验公式把临界应力cr与压杆的柔度表示为如下的线性关系,式中a，b与材料性质有关的常数，可从相关手册中查得。表11.2给出了几种常见材料的a，b值。前面已经提到，压杆的柔度越小，其临界应力就越大。以由塑性材料制成的压杆为例，当其临界应力到达材料的屈服极限时，杆件会因强度缺乏而失效，这属于强度问题而非压杆失稳的研究范畴。因此，直线型经验公式也有其,适用范围，即由经验公式计算的临界应力cr应小于材料的屈服极限s。所以由此可得假设令那么式中s对应于材料屈服极限s的最小柔度值。表11.2给出了几种常见材料的s值。可见，当杆件柔度处于sp范围内时，直线经验公式11.7适用，这类压杆称为中柔度杆或中长杆。,当s时，其临界应力将到达或超过材料的屈服极限，已属于强度问题，而不会出现失稳现象。假设将这类杆也按稳定形式处理，那么材料的临界应力cr可表示为这类压杆称为小柔度杆或短粗杆。2抛物线型经验公式抛物线型经验公式把临界应力cr与压杆的柔度表示为以下的抛物线关系与直线型经验公式类似，其中a1，b1也是与材料性质有关的常数。临界应力总图例11.2松木制成的矩形截面受压柱如图11.9所示。：横截面bh=100 mm180 mm，弹性模量E=10 GPa，p=110，s=40，杆长l=6 m。在xz面内失稳时横截面绕y轴转动，杆端约束为两端固定见图11.9 a，,在xy平面内失稳时横截面绕z轴转动，杆端约束为两端铰支见图11.9b。试求木柱的临界压力。图11.7 图11.8 图11.9解1假设压杆在xz平面内失稳杆端约束为两端固定，所以长度因数 。横截面对y轴的惯性矩为 所以横截面对y轴的惯性半径为根据式11.3)，杆件在xz平面内的柔度为,因sp，杆件属大柔度杆，所以用欧拉公式11.4计算其临界应力，即,临界压力为综合以上分析可知，杆件在xy平面内更容易失稳，杆件临界压力133 kN。11.4压杆稳定性的校核平安系数法为了使压杆具有必要的稳定性储藏，将由欧拉公式或经验公式间接计算出的临界压力Fcr除以一个大于1的系数nst，得到压杆的稳定许可压力式中nst称为稳定平安因数。稳定平安因数一般比强度平安因数大。在静载荷作用下，钢材nst=1.83.0，铸铁nst=5.05.5，木材nst=2.83.2。将Fcr作为压杆具有稳定性的极限压力，得到压杆的稳定性条件为定义临界压力Fcr和工作压力F的比值为压杆的工作稳定因数n，于是得到用,稳定因数表示的压杆稳定性条件为利用式11.12校核压杆稳定性的方法，称为平安系数法。折减系数法式11.11是利用压力来进行压杆稳定性校核，同样地，也可以得到用应力表达的压杆稳定性条件为定义稳定许用应力那么压杆的稳定性条件改写为工程计算中，常用根本许用应力乘以一个小于1的系数来表示，即式中称为折减系数。那么压杆的稳定性条件可写为,利用式11.13校核压杆稳定性的方法，称为折减系数法。11.3如图11.1所示千斤顶，假设丝杠长度l=375 mm，直径d=40 mm。材料为45钢，最大起重量F=80 kN，规定的稳定平安因数nst=4。试校核丝杠的稳定性。解1计算柔度丝杠可简化为下端固定，上端自由的压杆。所以，长度因数=2，惯性半径为 图11.10根据式(11.3)，柔度为,2计算临界压力材料为45钢，由表11.2查得p=110，s=60。因sp，应用欧拉公式计算是正确的。综上讨论，可取压杆直径d=43 mm。11.5提高压杆稳定性的措施减小压杆柔度1改善杆端的约束条件由表11.1可知，杆端约束刚性越强，压杆的长度因素越小，那么其临界压力越大。所以，通过加强杆端约束的刚性，可提高压杆的稳定性。2减小压杆的长度根据柔度计算公式11.3可知，压杆的柔度与其长度成正比。因此，在条件许可的情况下，可通过增加中间约束等方法来减小压杆的计算长度，这样,可使压杆的柔度值明显减小，以到达提高压杆稳定性的目的。这也是提高压杆稳定性最有效的方法之一。以空气压缩机的结构为例，如果把活塞与活塞杆在A处的固支改为压力通过B处传递，那么受压杆件长度可由l减小到l1，从而大大提高活塞杆的抗失稳能力，如图11.11所示。图11.113选择合理的截面形状，增大截面的惯性矩在压杆横截面面积A一定时，应尽可能使材料远离截面形心，使其惯性矩I增大。这样可使其惯性半径i增大，柔度值减小。如图11.12a所示，当面,积相同时，空心圆截面比实心圆截面合理。如图11.12b所示的由4个等边角钢组成的截面，分散布置形式的组合截面比集中布置形式的组合截面合理。但是，也不能为了增加截面的惯性矩而无限制地加大圆环截面的半径并减小其壁厚，这样会由于压杆管壁过薄而发生局部折皱导致整体失稳。对于由型钢组合而成的压杆，应用缀条或板把分开放置的型钢联成一个整体以提高其整体稳定性。图11.12合理选用材料对于大柔度压杆，由欧拉公式可知其临界应力cr与材料的弹性模量E成正比，所以，在其他条件相同的情形下，选用E值大的材料理论上可提高压杆,的稳定性。例如，钢制压杆的临界应力大于铜、铸铁或铝制压杆的临界应力。但是，工程实际中，一般压杆多是由钢材制成的，而各种类型钢材如普通碳素钢、合金钢以及高强度钢等的弹性模量E值均为200240 GPa，相差不是很大。以如图11.13所示的托架为例，在不影响结构使用的条件下，假设将如图11.13a所示结构改换成如图11.13b所示结构，那么AB杆由承受压力变为承受拉力，进而从根本上防止了失稳问题。图11.13,