线性离散系统状态方程的解

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,线性离散系统状态方程的解(1/2),2.4.1,线性离散系统状态方程的解,线性定常离散时间系统的状态方程求解有,递推法,和,Z,变换法,两种主要方法:,Z,变换法只能适用于线性定常离散系统,递推法可推广到时变系统和非线性系统。,下面将分别讨论,线性定常离散系统,线性时变离散系统,的状态空间模型求解。,递推法(1,/10),1.,递推法,递推法亦称迭代法。,用递推法求解线性定常离散时间系统的状态方程,x(,k,+1)=,G,x(,k,)+,H,u(,k,),时,只需在状态方程中依次令,k,=0,1,2,从而有,x(1)=,G,x(,0,)+,H,u(,0,),x(,2,)=,G,x(,1,)+,H,u(,1,),=,G,2,x(,0,)+,GH,u(,0,)+,H,u(,1,),递推法(2,/10),上述递推计算公式中的第2项为,离散卷积,因此有如下另一形式的线性离散系统状态方程的解表达式,若给出初始状态,x(0),即可递推算出,x(1),x(2),x(3),重复以上步骤,可以得到如下线性离散系统状态方程的递推求解公式:,递推法(,3/10),或,若初始时刻,k,0,不为,0,则上述状态方程的解可表达为,:,递推法(,4/10),与连续系统状态方程求解类似,对线性离散系统的状态方程求解,亦可引入,状态转移矩阵,。,该状态转移矩阵是下列差分方程初始条件的解:,(,k,+1,)=,G,(,k,),(,0,),=,I,用递推法求解上述定义式,可得,(,k,)=,G,k,因此,可得线性定常离散系统状态方程另一种解表示形式:,递推法(,5/10),比较连续系统与离散系统状态方程的解的表示形式:,连续系统,离散系统,初始状态的影响,初始时刻后输入的影响,为脉冲响应函数与输入的卷积,对上述离散系统状态方程的求解公式,有如下几点说明:,1.,与连续系统类似,离散系统状态响应也由两部分组成,一部分为由初始状态引起的响应,与初始时刻后的输入无关,称为系统状态的零输入响应;,另一部分是由初始时刻后的输入所引起的响应,与初始时刻的状态值无关,称为系统状态的零状态响应。,2.,引入状态转移矩阵概念和表示之后,线性连续系统和线性离散系统的状态方程的求解公式在形式上一致,都由零输入响应和零状态响应叠加组成,只是相应的零状态响应在形式上略有不同,一为求积分(卷积),一为求和(离散卷积),但本质是一致的。,3.,在由输入所引起的状态响应中,第,k,个时刻的状态只取决于此采样时刻以前的输入采样值,而与该时刻的输入采样值,u(,k,),无关。,这即为计算机控制系统固有的一步时滞。,Z,变换法,(1,/7),2,.,Z,变换法,已知线性定常离散系统的状态方程为,x(,k,+1)=,G,x(k)+,H,u(k),对上式两边求,Z,变换,可得,zX,(,z,)-,z,x(0)=,GX,(,z,)+,HU,(,z,),于是,(,zI-G,),X,(,z,)=,z,x(0)+,HU,(,z,),用(,zI,-,G,),-1,左乘上式的两边,有,X,(,z,)=,(,zI,-,G,),-1,z,x(0)+,(,zI,-,G,),-1,HU,(,z,),对上式进行,Z,反变换,有,x(,k,)=,Z,-1,(,zI,-,G,),-1,z,x(0)+,Z,-1,(,zI,-,G,),-1,HU,(,z,),Z,变换法,(2,/7),其中,W,1,(,z,),和,W,2,(,z,),分别为,w,1,(,k,),和,w,2,(,k,),的,Z,变换。,将上述公式推广到向量函数和矩阵函数,则可得,离散卷积,在,Z,反变换中对标量函数存在下述公式和性质:,Z,变换法,(3,/7),例,3-14,该表达式与前面递推法求解结果一致。,例,已知某系统的状态方程和初始状态分别为,试求系统状态在输入,u(,k,)=1,时的响应。,因此,离散系统的状态方程的解为:,Z,变换法,(,4/7),例,3-14,类似地,可继续递推下去,直到求出所需要的时刻的解为止。,2,.用,Z,变换法求解。,先计算(,zI,-,G,),-1,解,1.用递推法求解。,分别令,k,=1,2,3,则由状态方程有,Z,变换法,(,5/7),例,3-14,因此,有,Z,变换法,(,6/7),例,3-14,由,Z,变换,有,u,(,k,)=1,U,(,z,)=,z,/(,z,-1),因此,有,X,(,z,)=(,zI,-,G,),-1,z,x,(0)+,HU,(,z,),Z,变换法,(,7/7),例,3-14,令,k,=0,1,2,3,代入上式,可得,输出方程的解(,1/2),3.,输出方程的解,将状态方程的解代入如下线性定常离散系统的输出方程:,y(,k,)=,C,x(,k,)+,D,u(,k,),中,可得输出,y(,k,),的解为,输出方程的解(,2/2),或,线性时变离散系统状态方程的解(,1/6),2.4.2,线性时变离散系统状态方程的解,设线性时变离散系统的状态空间模型为,式中,初始时刻为,k,0,;,初始状态为,x,(,k,0,),。,假定系统状态方程的解存在且惟一,则解为,式中,(,k,k,0,),称为线性时变离散系统的状态转移矩阵。,线性时变离散系统状态方程的解(,2/6),线性时变离散系统的状态转移矩阵,(,k,k,0,),满足如下矩阵差分方程及初始条件：,其解为,线性时变离散系统状态方程的解(,3/6),与线性定常离散系统类似,线性时变离散系统的状态求解公式可用迭代法证明。,对,线性时变离散系统,的,状态方程，依次令,k,=,k,0,k,0,+1,k,0,+2,从而有,线性时变离散系统状态方程的解(,4/6),因此有,线性时变离散系统状态方程的解(,5/6),由上述状态方程解公式,可知,线性时变离散系统的状态方程的解也包括两项。其中,第,1,项是由初始状态激励的,为零输入响应,描述了输入向量为零时系统的自由运动。,第,2,项对应初始状态为零时,由输入向量激励的响应,称为强迫运动或受控运动。,线性时变离散系统的运动状态取决于状态转移矩阵,(,k,k,0,),而又是由,(,k,k,0,),唯一决定的。,线性时变离散系统状态方程的解(,6/6),将状态响应,代入输出方程,得到系统的输出为,可见,系统的输出响应也是由,零输入响应、,零状态响应和,直接传输部分,3,项组成的。,