偏导数与全微分

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,偏导数,欧阳顺湘,北京师范大学珠海分校,第三节 偏导数与全微分,一、,偏导数的定义及计算法,设函数,在点,某邻域内有定义，,当,固定,当,在,处有增量,时，,称为函数,在点,处对,的,偏增量,.,当,固定,而,在,处有增量,时，,称为函数,在点,处对,的,偏增量,.,称为函数,在点,处,的,全增量,.,在,处有增量,时，,而,在,处有增量,时，,定义,定义,设函数,在点,某邻域内有定义，,当,固定,而,在,处有增量,时，,存在，,则称此极限值为函数,在点,处对,的,偏导数,.,记作:,或,若极限,在点,处对,的,偏导数,定义为:,类似,函数,也记作,是一元函数,在点,处的导数,是一元函数,在点,处的导数,结论,二元函数偏导数的几何意义,二元函数偏导数的几何意义,方向导数,二元函数偏导数的几何意义:,x,y,z,S,o,是一元函数,在点,处的导数,由一元函数导数的几何意义知,在几何上表示空间曲线,在点,处的切线对,轴的,斜率,.,类似,在几何上表示空间曲线,在点,处的切线对,轴的,斜率,.,视,y,为常量，,对,x,求导.,视,x,为常量，,对,y,求导.,说明,对二元函数求关于,某一个自变量的偏导数,时,只需视,其它变量为常量,求导即可.,根据,一元函数,的求导,公式和求导法则,若函数,在区域D内,每一点,处对,的偏导数都存在,偏导数就是,的函数,称为函数,对,的,偏导(函)数.,记作,类似定义函数,对,的,偏导数,.,记作:,说明:,偏导函数的概念,可以推广,到二元以上的函数.,例如三元函数,在点,处关于,的偏导数为:,类似,说明,对多元函数求关于,某一个自变量的偏导数,时,只需视,其它变量为常量,求导即可.,根据,一元函数,的求导,公式和求导法则,例1.,求,的偏导数.,解,例2.,求,处的偏导数.,在点,解,例2.,求函数,在原点处的偏导数.,解,二元函数在某一点处,偏导数存在,但,未必连续,.,不存在,x,y,o,z,.,旋转锥面,.,连续函数的偏导数也未必存在,例3.,求,的偏导数.,解,例4.,求,的偏导数.,解,二、高阶偏导数,设函数,在区域D 内有偏导数,假设这两个函数的偏导数存在，,称其为函数,的,二阶偏导数,混合偏导数,Note：记号,有的书上的记法不同,若函数,在区域D 内的两个,二阶混合偏导数连续,则在该区域内这两个,混合偏导数必相等,.,类似可定义三阶、四阶及更高阶的偏导数，,二阶及二阶以上的偏导数称为,高阶偏导数.,定理,解,例1.,设,求它的二阶偏导数.,再求,The End,练习Page 5 1，2,