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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,7.2.2,二模振荡及模竞争,n,只能取,1,或,2,并满足,(7.2.14),当,n=1,时,只有,1111,1122,1221;,n=2,时,只有,2222,2112,2211,于是,(7.2.17),变为,上两式可简化成,7.2.20,7.2.21,7.2.22,再简化成,第一个模和,第二个模的,线性净增益,系数，表,7-1,交叉饱和系数,自饱和系数,7.2.23,7.2.24,交叉饱和系数描写一个模的存在对另一个模饱和强弱的影响。在方程,(7.2.23),和方程,(7.2.24),中如去掉含有,nm,的项，这两个方程就类似于在单模情况下得到的方程。,由于交叉饱和项的存在，一个模强度的增加将导致另一个模强度的减小，这就是模竞争效应。,7.2.25,(,n,m,=1,2),双模振荡时模间的竞争,将方程式,(7.2.23),两边同乘以,将方程,(7.2.24),两边同乘以,得到如下的无量纲光强方程,(7.2.26),(7.2.27),在稳态下，方程为,(7.2.28),(7.2.29),表示两个模均不能振荡,(,两个模的净增益系数均为负值,),。解是稳定的，但没有实际意义。因为该激光器没有工作。,可以获得双模光强的四组稳态解,1,、,I,1,(s),=,I,2,(s),=0,相当于一个单模激光器，因为模式,1,没振荡，所以不产生模式竞争。,或者初始的,1,0,，可是由于第二个模的振荡使,1,=,1,-,2,12,/,2,减小，致使,1,1,，属于强耦合；若,C1,，为弱耦合；当,C=1,时为中间耦合。,弱耦合模的特性与强耦合模的特性完全不同。,如果两个模只有弱耦合，它们之间虽有影响，但都能振荡。,如果两模之间为强耦合情况就完全不同，这时一个模的振荡强度的增加，会使另一个模的振荡强度减弱，甚至不能振荡，这就是模间竞争效应。,所谓稳定性是指在稳态情况下，光强有一点扰动后，是否还能恢复到原来的稳态，这相当于力学中的平衡态的稳定性问题。,下面采用扰动分析法来讨论解的稳定性,为此我们考虑在稳态解附近有强度的微小起伏，即令,如果,I,1,、,I,2,是稳定解，则当,t,时，应有,1,0,2,0,，否则就不是稳定的,代入,(7.2.26),、,(7.2.27),略去数量级为,2,的项,讨论第二组稳态解得稳定性。将,I,1,(s),=0,，,I,2,(s),=,2,/,2,，代入上式得,(b1),由上式可见：若,1,0,时，当,t,时，,2,0,恒能满足。,所以在,1,0,时，解,I,1,(s),=0,，,I,2,(s),=,2,/,2,是稳定的。,由上式可知，若,1,0,，但,1,0,，则模,1,可以抵制模,2,的竞争，并建立起振荡，此时,1,将不随时间的推移而趋于零。,在这种情况下，,I,1,(s),=0,，,I,2,(s),=,2,/,2,就是不稳定解,讨论第四组稳态解的稳定性。将,(7.2.30-31),代入,(b1),写成矩阵形式,:,式中,为稳定矩阵,（,b2,）,做线性变换使矩阵,H,对角化，使,(b2),变为,有,如果,1,0,2,0,则当,t,时，分别有,1,0,2,0,。因为,1,、,2,是,1,和,2,的线性组合，所以有,1,0,，,2,0,，也即,I,1,(s),和,I,2,(s),是稳定的。,特征值,式中,为使,1,2,B,，即,A,2,B,2,得,这就是稳定性的判据,(7.2.33),2,、,C1,，,1,0,2,0,，不满足 ，即有稳态解，但不稳定，要产生强烈的竞争，结果必定出现模抑制。强耦合,用条件,来判断第四组稳态解的稳定性,(7.2.30),I,1,(s),和,I,2,(s),有,正解,只有两种可能,:,1,、,C0,，,2,0,，因此两个模都可能建立稳定振荡。弱耦合,C=1,时,12,21,=,1,2,，方程,(7.2.28),和,(7.2.29),表示在以,I,1,、,I,2,为坐标轴的平面上是互相平行的两条直线。在这些线上任意点所表示的强度组合都是稳定的。中性耦合。稳态解为,表,7-2,双模方程稳定解的条件,中性耦合,弱耦合,C1,强耦合,C=0,，无耦合,7.2.3,三模振荡与模式锁定,在三个模式振荡时，振幅方程,(7.2.17),和频率方程,(7.2.18),为：,符合条件式,(7.2.14),的：当,n=1,时，只有,6,项，,111,、,122,、,133,、,221,、,232,、,331,，其中，除,1232,0,外，其他组合位相的,1,均为零。当,n=2,时，有,7,项，其中,2123,=,2321,0,。当,n=3,时，有,6,项，其中,3212,0,。,27,项,(7.2.34),(7.2.35),从上式可见,这些非零的组合项并不是无关的,它们可以用一个变量,来表示,(7.2.9),因此方程式,(7.2.34),和式,(7.2.35),的右边第二项可以分成组合位相等于零的项和组合位相不等于零的项。于是得到,(7.2.36,）,无量纲光强,(7.2.43),式中,(7.2.37,）,(7.2.38,）,(7.2.39,）,(7.2.40,）,(7.2.41,）,(7.2.42,）,为频率自推斥,(n=m),和交叉牵引或推斥系数,由于,11,=,1,，所以上式可以具体地写成,可见，右边第一项,1,是频率为,1,振荡模的线性净增益，第二项是自饱和项，,12,和,13,为互饱和项。最后一项为,1,、,2,、,3,三个模之间的相互作用引起的饱和效应，通常称它为组合调效应。,(7.2.36,）,式,(7.2.39),每一项的物理含意是：,右边第二项,1,为频率牵引项,第三项由三项组成,11,=,1,为自推斥项，,12,和,13,是由于互饱和效应引起的频率牵引或推斥效应。,第四项为组合调效应引起的频率推斥。,(7.2.39,）,组合位相,可随时间缓慢地变化，按式,(7.2.36)(7.2.41),，各个纵模的振幅和频率达到稳定的数值后还会以频率 波动,(7.2.43),即基本上以,相邻纵模差频,(,2,-,1,),和,(,3,-,2,),的差拍频率波动,这样运行的多纵模激光器各纵模间的,频率和位相没有确定的关系,(7.2.44),作为各个纵模的叠加，合成瞬时光强随时间作无规的波动，如图所示。,在这种情况下，接收器测量到的光强,(,它是在接收器响应时间之内的平均值）为各纵模强度的简单求和,(,即,非相干叠加,),。,如果纵模数为,N,，且各纵模强度相等，即,E,n,=,E,0,，则总强度为,如果采取某种措施，使振荡着的,N,个纵模互相关联，就是说，设频率等间隔分布，并有固定的相邻纵模位相差，即对所有的,n,都有,各纵模的相干叠加，瞬时光强形成了周期性脉冲序列，如图,脉冲的峰值光强比自由振荡的总强度提高了,N,倍，即,并且脉冲宽度变窄，因此稳定振荡的多模激光器当各纵模频率成等间隔分布并有固定位相关系时，将形成时域中的等间隔的脉冲序列，输出这种现象称为锁模。,发生锁模的条件可归纳为,(7.2.45),实现锁模条件,将式,(7.2.39)(7.2.41),代入式,(7.2.44),，,并考虑 到，可得,(7.2.46),式中,A,B=,(7.2.50),于是锁模条件可表示为：,可见实现锁模必须满足条件,(7.2.51),(7.2.52),三模自锁,当将模式,E,2,调谐到谱线中心的频率时，,E,1,和,E,3,模对称分布在中心两侧，因而,E,1,E,3,，,2,-,1,3,-,2,由表,7-1,可以看出这时,2,=0,，,2,=0,，,1,=-,3,，,1,=-,3,，由,(7.2.19),和,(7.2.42),知：,21,=-,23,。可以得出,两种自锁状态,对于其中两个模（如,E,1,和,E,2,）的相位,1,和,1,，适当选择初始位相，使得,于是激光场随时间的变化可表示为,上式即表示锁模脉冲，其周期为,(7.2.54),(7.2.55),对于第一种自锁状态，有,这样三个模叠加也能得到周期性脉冲,如图的虚线曲线。,对于第二种自锁状态，有,(7.2.56),后者峰值较前者为低，原因是前者是三个模同位相叠加，而后者并不完全同位相。,三模干涉叠加的 脉冲波形,总的说来，若,E,2,模愈是调谐在靠近谱线的中心频率，多纵模的强度愈大，非线性效应愈强，则愈容易锁模。,利用激活介质自身的非线性达到自锁，最初在,He Ne,激光器中被观察到，之后又在,CO,2,激光器、,Ar,+,激光器以及固体激光器中观察到。但这种自锁是不容易的，要锁定许多纵模使之达到实用要求就更不容易。自锁往住不稳定，各种干扰常使自锁条件破坏并使锁定状态瓦解。因此，自锁实用价值不大。,对于要求锁模运转的激光器，通常都是在激光器谐振腔内人为地放置调制元件，进行强迫锁模（又分为主动锁模和被动锁模）,
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