二阶常系数齐次微分方程

单击此处编辑母版标题样式,#,上一页,下一页,返回,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,学习要求,了解二阶常系数齐次微分方程的概念。,掌握二阶常系数齐次微分方程的求解方法。,6.5,二阶常系数齐次线性微分方程,1,、定义,形如：的方程，称为,二阶线性微分方程,特点,称为二阶,齐次,线性微分方程,称为二阶,非齐次,线性微分方程,如：,二阶齐次线性微分方程,二阶非齐次线性微分方程,2.,二阶齐次方程解的结构,:,那么什么情况下才是方程的通解呢？为了解决这个问题，我们引进了线性相关和线性无关的概念。,例如,方程通解为,二、二阶常系数齐次线性方程的解法,1,、定义,形如：的方程，称为,二阶常系数齐次线性微分方程。,2,、求解,找两线性无关特解,设特解为,则,特征方程,特征方程的解,特征根,特征方程是一个二次方程，按照二次方程的根的情况，特征跟有下列三种不同的情形,1,、特征根是特征方程的两个不相等实根,2,、特征根是特征方程的两个相等实根,3,、特征根是特征方程的两个共轭虚根,1,、特征方程有两个不相等特征实根,方程两特解,线性无关,所以方程的通解为,2,、特征方程有两相等特征实根,设方程另一个特解为：,则,所以方程的通解为,3,、特征方程有共轭复数特征根,重新组合,得齐次方程的通解为,特征根为,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例,1,解：对应特征方程,所求方程通解为,例,2,并求满足条件,所求特解为,解,特征方程为,故所求通解为,小结,二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤,:,（,1,）写出相应的特征方程,;,（,2,）求出特征根,;,（,3,）根据特征根的不同情况,得到相应的通解,.,(,见下表,),思考题,求微分方程 的通解,.,思考题解答,令,则,特征根,通解,练 习 题,