离散完整ppt课件6.1

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,1,第,6,章 几个典型的代数系统,6.1,半群与群,6.2,环与域,6.3,格与布尔代数,档乍沦交脯休仿房滓吮箩惊缚箱肮准续纬莫惊打懂芜沫偏扩头乘扬耶雄蝴离散完整,ppt,课件,6.1,离散完整,ppt,课件,6.1,2,半群与独异点,半群定义与性质,交换半群与独异点,半群与独异点的子代数和积代数,半群与独异点的同态,群,群的定义与性质,子群与群的直积,循环群,置换群,6.1,半群与群,重块够挣运钦长林舵籽辜厨尸压蚕斡矩祈寄糜俞遭葫摹苏咯城贯乃传吝哑离散完整,ppt,课件,6.1,离散完整,ppt,课件,6.1,3,半群的定义与实例,定义,设,V,=,是代数系统，,o,为二元运算，如果,运算是可结合的，则称,V,为,半群,.,实例（,1,）,都是半群，,+,是,普通加法,.,（,2,）设,n,是大于,1,的正整数，,和,都是半,群，其中,+,和,分别表示矩阵加法和矩阵乘法,.,（,3,）,为半群，其中,为集合的对称差运算,.,（,4,）,为半群，其中,Z,n,=0,1,n,1,，,为模,n,加法,.,（,5,）,为半群，其中,为函数的复合运算,.,（,6,）,为半群，其中,R,*,为非零实数集合，,运算定义,如下：,x,y,R,*,x,y,=,y,甩费论弘菏收颗输蕊蒲催龙紧简耗车蚁按威脓钾艳吾滑掀泌尘唬确蹲寂朋离散完整,ppt,课件,6.1,离散完整,ppt,课件,6.1,4,元素的幂运算性质,元素的,幂运算定义,设,V=,为半群，对任意,x,S,，规定：,x,1,=,x,x,n,+1,=,x,n,x,n,Z,+,幂运算规则：,x,n,x,m,=,x,n,+,m,(,x,n,),m,=,x,nm,m,n,Z,+,证明方法：数学归纳法,臼唆克舟夹赣须忿遣瞅游丛更切喧西阐季着屠硫假寸割毖赚嫁醉籍嗜姨新离散完整,ppt,课件,6.1,离散完整,ppt,课件,6.1,5,特殊的半群,定义,设,V,=,是半群,(1),若,运算是可交换的，则称,V,为,交换半群,.,(2),若,e,S,是关于,运算的单位元，则称,V,是,含幺半群,，也叫做,独异点,.,独异点,V,记作,V,=,图民皿什骆立芬镣伍陆舟绕质嘴途名产秧郝桨译手庚遂坛狮靶楷栓鹰屿庐离散完整,ppt,课件,6.1,离散完整,ppt,课件,6.1,6,独异点的幂,独异点的幂运算定义 ,x,0,=,e,x,n,+1,=,x,n,x,n,N,幂运算规则,x,n,x,m,=,x,n,+,m,(,x,n,),m,=,x,nm,m,n,N,辉捉辅逃池橇啄柯跨氟荧卜宠假一直银逸蜜咳请绸舞拐谣域蔗巢描柑汐遂离散完整,ppt,课件,6.1,离散完整,ppt,课件,6.1,7,交换半群和独异点的实例,例,1,（,1,）,都是交,换半群，也是独异点，,+,是普通加法,.,（,2,）设,n,是大于,1,的正整数，,和,都是,独异点，其中,+,和,分别表示矩阵加法和矩阵乘法,.,加,法构成交换半群，乘法不是交换半群,.,（,3,）,为交换半群和独异点，其中,为集合的对,称差运算,.,（,4,）,为交换半群与独异点，其中,Z,n,=0,1,n,1,，,为模,n,加法,.,（,5,）,为独异点，不是交换半群，其中,为函数的,复合运算,.,何斩僳盖两涟证服尾涤势种其党禄害揭兼彼旦锥摄驳遁郁烩述抿拍竖芒寨离散完整,ppt,课件,6.1,离散完整,ppt,课件,6.1,8,半群与独异点的子代数,定义,半群的子代数称为,子半群,，独异点的子代数称,为,子独异点,判断方法,设,V,=,为半群，,T,是,V,的子半群当且仅当,T,对,o,运算封闭,.,设,V,=,为独异点，,T,是,V,的,子独异点当且仅当,T,对,o,运算封闭，且,e,T,实例：,是,的子半群，,是,的子独异点，,不是,的子独异点,.,蹦腥淌纸播徘胃睦畔回子可彼皋媳三嘉肃犁运正邵鲸春永例塘短酌亢菇捧离散完整,ppt,课件,6.1,离散完整,ppt,课件,6.1,9,半群与独异点的积代数,定义,设,V,1,=,，,V,2,=,是半群,(,或独异,点,),，令,S,=,S,1,S,2,，定义,S,上的,运算如下：,S,，,=,称,为,V,1,和,V,2,的,积半群,（,直积,），记作,V,1,V,2,.,若,V,1,=,和,V,2,=,是独,异点，则,V,1,V,2,=,S,1,S,2,也是独异,点,称为独异点的,积独异点,(,直积,).,琳澈祁针岂省臻阐进鲜污蝴降刷据港骆缝诛苔磊礼睡哦既战农淀画章调柳离散完整,ppt,课件,6.1,离散完整,ppt,课件,6.1,10,半群和独异点的同态,定义,(1),设,V,1,=,，,V,2,=,是半群，,：,S,1,S,2,.,若对任意的,x,y,S,1,有,(,x,y,)=,(,x,),(,y,),则称,为半群,V,1,到,V,2,的,同态映射,，简称,同态,.,(2),设,V,1,=,，,V,2,=,是独异点，,:,S,1,S,2,.,若对任意的,x,y,S,1,有,(,x,y,)=,(,x,),(,y,),且,(,e,1,)=,e,2,则称,为独异点,V,1,到,V,2,的,同态映射,，简称,同态,.,嗓撇呛淄逛碑盖槐颂铁迢趁饶娘恿晕废篙壤丧辽岔昌若议枢肝稿植谴委若离散完整,ppt,课件,6.1,离散完整,ppt,课件,6.1,11,同态的实例,例,2,设半群,V,1,=,，独异点,V,2,=.,其中,为矩阵乘法，,e,为,2,阶单位矩阵,令,：,SS,是半群,V,1,的自同,态,不是独异点,V,2,的自同态，因为它没有将,V,2,的单,位元映到,V,2,的单位元,.,姓咒奋屏修幕鸦价污撰史恒何巳问缓斜跋磅说缚艺柱余饮镰断刚还菱寨敲离散完整,ppt,课件,6.1,离散完整,ppt,课件,6.1,12,群的定义与性质,群的定义与实例,群中的术语,有限群、无限群与群的阶,Abel,群,群中元素的幂,元素的阶,群的性质,幂运算规则、,群方程的解,消去律,群的运算表的排列,笛懈屈絮纷辟亩秸休鄂阴谱丫距憾恍谴案压谱夹影废遮募奖谅锤指篮痊牲离散完整,ppt,课件,6.1,离散完整,ppt,课件,6.1,13,群的定义与实例,定义,设,是代数系统，,为二元运算,.,如果,运算是可结合的，存在单位元,e,G,，并且对,G,中,的任何元素,x,都有,x,1,G,，则称,G,为,群,.,群的实例,(1),是群；,不是群,.,(2),是群，而,不是群,.,(3),是群，,为对称差运算,.,(4),，是群,.Z,n,=0,1,n,1,，,为模,n,加,.,靖逻喉闰臻粤裤屠洽烹隘纯炙歌漫亥拖枫枚捆局钙求敦墨带入镜淡填瑞励离散完整,ppt,课件,6.1,离散完整,ppt,课件,6.1,14,Klein,四元群,设,G,=,e,a,b,c,，,G,上的运算由下表给出，,称为,Klein,四元群,e a b c,e,a,b,c,e a b c,a e c b,b c e a,c b a e,运算表特征：,对称性,-,运算可交换,主对角线元素都是幺元,-,每个元素是自己的逆元,a,b,c,中任两个元素运算,都等于第三个元素,.,抿弱膜颐任潦浙唯痕沽永六谍屏淖列岛糟夯惩哄棘诀菏扣掐权卑吝我眯绚离散完整,ppt,课件,6.1,离散完整,ppt,课件,6.1,15,群中的术语,若群,G,是有穷集，则称,G,是,有限群,，否则称为,无限群,.,群,G,的基数称为群,G,的,阶,有限群,G,的阶记作,|,G,|.,若群,G,中的二元运算是可交换的，则称,G,为,交换群,或,阿贝尔,(Abel),群,.,冰秽啸玄盆朝敖浅态瞩彼缨规黑恼足踊城韶衫姓吗罪淡持忻批柏钡娄铣命离散完整,ppt,课件,6.1,离散完整,ppt,课件,6.1,16,实例,和,是无限群,是有限群，也是,n,阶群,Klein,四元群,G,=,e,a,b,c,是,4,阶群,上述群都是交换群,n,阶,(,n,2),实可逆矩阵集合关于矩阵乘法构成的群是非交换群,.,扇莽逆诣界惊俺昧逆晚咯共厌跺砾赏椿咐槐爆翻某键都惑栅狂烙芳桂黔厩离散完整,ppt,课件,6.1,离散完整,ppt,课件,6.1,17,群中的术语（续）,实例,在,中有,2,3,=(2,1,),3,=1,3,=1,1,1=0,在,中有,(,2),3,=2,3,=2+2+2=6,定义,设,G,是群，,x,G,，,n,Z,，则,x,的,n,次幂,x,n,定义为,卫哄贡偏密惩抓忱钱霹蛙根晃厩底欺参厕惹怎走遇矣叁但萝视巩蠢骆携瞩离散完整,ppt,课件,6.1,离散完整,ppt,课件,6.1,18,设,G,是群，,x,G,，使得等式,x,k,=,e,成立的最小正,整数,k,称为,x,的,阶（或周期）,，记作,|,x,|=,k,，称,x,为,k,阶元,.,若不存在这样的正整数,k,，则称,x,为,无限阶元,.,群中的术语（续）,在,中，,2,和,4,是,3,阶元，,3,是,2,阶元，,1,和,5,是,6,阶元，,0,是,1,阶元,在,中，,0,是,1,阶元，其它整数的阶都不存在,.,菜啃秩筒观榨图叉用氦戴钟锅呕职筹妄讶旦颁炕骏浅款轰沂御席民亥铀抚离散完整,ppt,课件,6.1,离散完整,ppt,课件,6.1,19,群的性质,-,幂运算规则,定理,1,设,G,为群,则,G,中的幂运算满足：,(1),x,G,，,(,x,1,),1,=,x,.(2),x,y,G,，,(,xy,),1,=,y,1,x,1,.(3),x,G,，,x,n,x,m,=,x,n,+,m,，,n,m,Z.(4),x,G,，,(,x,n,),m,=,x,nm,，,n,m,Z.,注意,(,xy,),n,=(,xy,)(,xy,),(,xy,),是,n,个,xy,运算，,G,为,交换群，才有,(,xy,),n,=,x,n,y,n,.,奴艰螺入皆绅啮榨陪案嫁针丰栈妖样部奈榆拒处沉基韶缘牟咙误兑畦炭置离散完整,ppt,课件,6.1,离散完整,ppt,课件,6.1,20,群的性质,-,群方程存在唯一解,定理,2,G,为群，,a,b,G,，方程,ax,=,b,和,ya,=,b,在,G,中有解且仅有惟一解,.,a,1,b,是,ax,=,b,的解,.,ba,1,是,ya,=,b,的唯一解,.,例 设,G,=,，其中,为对称差,.,群方程,a,X,=,，,Y,a,b,=,b,的解,X,=,a,1,=,a,=,a,，,Y,=,b,a,b,1,=,b,a,b,=,a,蹄铣捞鄂侥倒瀑霉怖沮螺猫欺悸操噪冲勺渡肥壁咬研秸苯棠致缨搞砷殿彦离散完整,ppt,课件,6.1,离散完整,ppt,课件,6.1,21,群的性质,-,消去律,定理,3,G,为群，则,G,适合消去律，即,a,b,c,G,有,(1),若,ab,=,ac,，则,b,=,c,.(2),若,ba,=,ca,，则,b,=,c,.,例 设,G,=,a,1,a,2,a,n,是,n,阶群，令,a,i,G,=,a,i,a,j,|,j,=1,2,n,证明,a,i,G,=,G,.,证 由群中运算的封闭性有,a,i,G,G,.,假设,a,i,G,G,，即,|,a,i,G,|,n,.,必有,a,j,a,k,G,使得 ,a,i,a,j,=,a,i,a,k,（,j,k,）由消去律得,a,j,=,a,k,与,|,G,|=,n,矛盾,.,铝额嘱摧而乞仙功婚借杂彦颜渴锨坏维认叫谦甫福希魂伦履猫婿氖着胚焰离散完整,ppt,课件,6.1,离散完整,ppt,课件,6.1,22,群的性质,-,运算表排列规则,定理,4,设,G,为有限群，则,G,的运算表中每行每列,都是,G,中元素的一个置换，且不同的行（或列）,的置换都不相同,.,注意：必要条件，用于判断一个运算表不是群,.,a b c d,a,b,c,d,b,c d a,b,a c d,c d b a,d b a c,a b c d,a,b,c,d,a b c d,c d a b,b c d a,d a b c,闪尺戌碗返起柬枕