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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,课程准备,数学基础,高等数学,线性代数,计算机基础,一种高级计算机语言,数据结构,课程准备数学基础 高等数学 线性代数计算机基础 一种高级计算,1,第,1,章 绪论,计算方法的英文翻译,putational method,puting method,putational procedure,4.numerical method,5.Calculation method,6.Computational thoughts,第1章 绪论计算方法的英文翻译6.Computational,2,第,1,章 绪论,计算方法是介绍基本的数学问题的主要数值方法,介绍方法的结构、意义、条件、对输入数据的要求，生成数据的意义、应注意的事项等等,什么是计算方法,对应用中最常见的问题进行数值处理的可靠方法,在科学计算中的最基本的概念,第1章 绪论 计算方法是介绍基本的数学问题的主要数值方,3,第,1,章 绪论,计算机处理的问题,数值型问题,解决工程计算问题,非数值型问题,解决一般的计算机应用,理论基础,:,高等数学,线性代数,数学模型,计算方法等,理论基础,:,数据结构,离散数学等,1.1,数值计算,第1章 绪论计算机处理的问题数值型问题 非数值型问题理论基础,4,第,1,章 绪论,计算机处理问题的步骤,1.1,数值计算,建立数学模型,计算问题的解,实验验证,第1章 绪论计算机处理问题的步骤1.1 数值计算建立数学模型,5,第,1,章 绪论,计算数学的任务,1.1,数值计算,用计算机计算出数学问题的数值解,寻求、设计求解各类问题的数值方法,对数值方法的数值性质进行研究,(1),分析方法的可靠性,(2),分析方法的效率,第1章 绪论 计算数学的任务1.1 数值计算 用计算机计算出,6,第,1,章 绪论,1.1,数值计算,问题的类型,离散问题,如求解方程组,Ax=B,连续问题的离散化,如数值积分、数值微分、微分方程数值解,离散问题的连续化,数值拟合、数据逼近、数据统计计算,第1章 绪论1.1 数值计算 问题的类型 离散问题,7,第,1,章 绪论,1.2,数值方法的分析,对数值方法的分析的目的是要评价方法的优缺点,方法是否可靠,方法的计算效率,第1章 绪论1.2 数值方法的分析 对数值方法的分析的目,8,第,1,章 绪论,1.2,数值方法的分析,定义,误差是指近似值与真正值之差,误差分类,模型误差,在建立数学模型时，忽略次要因素而造成的,数据误差,由于问题中的值通过观察得到的，从而产生误差,截断误差,通过近似替代，简化为较易求解的问题,计算误差,由于计算机中数的位数限制而造成的,第1章 绪论1.2 数值方法的分析定义 误差是指近似,9,第,1,章 绪论,1.2,数值方法的分析,定义,通常以计算机完成操作,a+b*c,即一次浮点加法一次浮点乘法，所需的时间作为一个时间单位，称为浮点运算，记为,flop.,11500 flop,125000 flop,2200 flop,第1章 绪论1.2 数值方法的分析定义 通常以计算,10,第,1,章 绪论,1.2,数值方法的分析,1.2.1,计算机上数的运算,第1章 绪论1.2 数值方法的分析1.2.1 计算机上数的运,11,第,1,章 绪论,1.2,数值方法的分析,1.2.1,计算机上数的运算,第1章 绪论1.2 数值方法的分析1.2.1 计算机上数的运,12,第,1,章 绪论,1.2,数值方法的分析,1.2.1,计算机上数的运算,浮点数运算结果产生误差的情况,(1),结果的指数,l,不在范围,L,U,中,上溢会出错，下溢会变为,0,第1章 绪论1.2 数值方法的分析1.2.1 计算机上数的运,13,第,1,章 绪论,1.2,数值方法的分析,1.2.1,计算机上数的运算,浮点数运算结果产生误差的情况,(2),结果的尾数多于,t,位数字,需对结果进行舍入处理，产生的误差称为舍入误差。,第1章 绪论1.2 数值方法的分析1.2.1 计算机上数的运,14,第,1,章 绪论,1.2,数值方法的分析,1.2.1,计算机上数的运算,浮点数运算结果产生误差的情况,(2),结果的尾数多于,t,位数字,第1章 绪论1.2 数值方法的分析1.2.1 计算机上数的运,15,第,1,章 绪论,1.2,数值方法的分析,1.2.1,计算机上数的运算,浮点数运算结果产生误差的情况,(2),结果的尾数多于,t,位数字,第1章 绪论1.2 数值方法的分析1.2.1 计算机上数的运,16,第,1,章 绪论,1.2,数值方法的分析,浮点运算应注意：,(1),避免产生大结果的运算，尤其是避免小数作为除数参加运算；,(2),避免“大”“小”数相加减；,(3),避免相近数相减，防止大量有效数字损失；,(4),尽可能简化运算步骤，减少运算次数。,1.2.1,计算机上数的运算,浮点数运算结果产生误差的情况,(2),结果的尾数多于,t,位数字,第1章 绪论1.2 数值方法的分析浮点运算应注意：1.2.1,17,第,1,章 绪论,1.2,数值方法的分析,1.2.1,计算机上数的运算,浮点数运算结果产生误差的情况,(3),在浮点数系中数据的尾数字长,t,是有限,(4),在相同的指数条件下，两上数量相差较大的数字相加（减）时，较小数的有效数字会被丧失,第1章 绪论1.2 数值方法的分析1.2.1 计算机上数的运,18,第,1,章 绪论,1.2,数值方法的分析,1.2.2,问题的性态,定义,数据相对小的变化引起解的相对大的变化的问题称为病态问题,否则称为良态问题。,问题的性态就是问题的解对原始数据扰动的敏感性,第1章 绪论1.2 数值方法的分析1.2.2 问题的性态定义,19,第,1,章 绪论,1.2,数值方法的分析,1.2.2,问题的性态,第1章 绪论1.2 数值方法的分析1.2.2 问题的性态,20,第,1,章 绪论,1.2,数值方法的分析,1.2.3,方法的数值稳定性,定义,在执行某一数值方法时，如果由初始误差导致最终解的误差能被有效地控制，这样的方法是数值稳定的,反之，如果扣个计算过程中误差不断增长，且不能被有效地控制，则该方法称为数值不稳定的,方法的数值稳定性是指运算中由初始误差通过计算导致的最终解的误差的可控性。,第1章 绪论1.2 数值方法的分析1.2.3 方法的数值稳定,21,第,1,章 绪论,1.3,数值方法的分析,定义,算法是由有限个无二义性的法则组成的一个计算过程，这些法则明确规定了一串运算，以产生一个问题或者一类问题的解。,描述,算法可以使用框图、算法语言、伪代码、数学语言、自然语言来进行描述。,第1章 绪论1.3 数值方法的分析定义 算,22,第,1,章 绪论,具有的特征,算法应具有以下的特征：,正确性,有穷性,适用范围广,运算工作量少,使用资源少,逻辑结构简单,便于实现,计算结果可靠,1.3,数值方法的分析,第1章 绪论具有的特征 算法应具有以下的特征：1.3,23,第,1,章 绪论,1.3,数值方法的分析,了解算法的设计原理,熟悉算法的运算过程,掌握算法的长处和短处,分析算法的稳定性、时空特性,改进算法的性能,为解决实际问题,应正确提出数学问题,并针对具体问题选择或改造适当的算法,清楚计算过程中可能发生的问题,.,第1章 绪论1.3 数值方法的分析 了解算法的设计原理,24,第,1,章 绪论,1.3,数值方法的分析,算法,SUM1(A,n,S),将数组,A,中的,n,个数相加,并将和存放于,S,中,1.0-s,2.For i=1,2,n,2.1 S+ai-S,3.,输出,S,算法实例,:,求,n,个数的和,第1章 绪论1.3 数值方法的分析算法SUM1(A,n,S),25,第,1,章 绪论,1.3,数值方法的分析,算法,SUM2(A,n,S),将数组,A,中的,n,个数中的正数与负分别相加,并将和存放于,S,中,1.0-s1;0-S2;,2.For i=1,2,n,2.1 if ai S1,else S2+ai-S2,3.S1+S2-S,算法实例,:,求,n,个数的和,第1章 绪论1.3 数值方法的分析算法SUM2(A,n,S),26,第,1,章 绪论,1.3,数值方法的分析,算法,SUM3(A,n,S),将数组,A,中的有相同符号的,n,个数的和,按绝对值递增的顺序将它们求和,1.0-s;,2.For i=1,2,n,2.1 max-m,2.2 for k=1,2,n,2.2.1 If ak0 and abs(ak)m;k-j;,2.3 S+ai-s,2.4 0-ai,算法实例,:,求,n,个数的和,第1章 绪论1.3 数值方法的分析算法SUM3(A,n,S),27,第,1,章 绪论,1.3,数值方法的分析,算法,SUM4(A,n,S),将数组,A,中的数按其符号分成两组,分别按算法,SUM3,求和,最后计算和,S,1.0-n1;0-n2;,2.For i=1,2,n,2.1 if ai=0 then n1+1-n1;ai-bn1;,else n2+1-n2;ai-cn2;,3.,调用,SUM3(B,n1,S1);,4.,调用,SUM3(C,n2,S2);,5.S1+S2-S,算法实例,:,求,n,个数的和,第1章 绪论1.3 数值方法的分析算法SUM4(A,n,S),28,第,1,章 绪论,1.3,数值方法的分析,类型 范围 格式,Shortint -128.127 signed 8-bit,Smallint -32768.32767 signed 16-bit,Longint -2147483648.2147483647 signed 32-bit,Int64 -263.263-1 signed 64-bit,Byte 0.255 unsigned 8-bit,Word 0.65535 unsigned 16-bit,Longword 0.4294967295 unsigned 32-bit,第1章 绪论1.3 数值方法的分析类型,29,第,1,章 绪论,1.3,数值方法的分析,计算机计算过程中，由于原始数据可能有误差，每次运算也,可能产生舍入误差，误差积累起来，很可能淹没真正解，使得结,果根本不可靠。,可靠的算法，各步误差不应对计算结果产生,过大影响，也即具有稳定性,.,第1章 绪论1.3 数值方法的分析 计算机计算过程,30,
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