资源描述
,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式第二级,*,/20,第1节 矩阵的定义,第2节 矩阵的运算,第3节 逆矩阵,第4节 线性方程组的矩阵解法,第 2 章 矩 阵,1,第1节 矩阵的定义第 2 章 矩 阵,矩阵的概念很简单，就是一个表格，但它的用途却很广。,实际问题和线性代数中许多问题都可以表示成矩阵的问题。使用矩阵语言可以使许多问题变得更清晰，解决问题的思路也变得更清楚。,现在，矩阵已成为数学中的一个最基本的概念。,2,矩阵的概念很简单，就是一个表格，但它的用途却很广。2,第1节 矩阵的定义,第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义,1.某位商人分别从,3,处购进,4,种货物，他可以用一个,3,行,4 列的表格,来表示购入货物的数量(或价格或金额)，这里,a,ij,表示从,i,处购进的,j,货物的数量,一、矩阵概念的引入,货物1 货物2 货物3 货物4,产地1,a,11,a,12,a,13,a,14,产地2,a,21,a,22,a,23,a,24,产地3,a,31,a,32,a,33,a,34,3,第1节 矩阵的定义第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义,第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义,2.线性方程组,的解取决于,系数,a,ij,(,i,=1,m,j,=1,n,),常数项,b,i,(,i,=1,2,m,),a,11,x,1,+,a,12,x,2,+,a,1,n,x,n,=,b,1,a,21,x,1,+,a,22,x,2,+,a,2,n,x,n,=,b,2,a,m,1,x,1,+,a,m,2,x,2,+,a,mn,x,n,=,b,m,对线性方程组的,研究可转化为对,这张表的研究.,线性方程组完全由下面的表格确定,a,11,a,12,a,1,n,b,1,a,21,a,22,a,2,n,b,2,a,m,1,a,m,2,a,mn,b,m,4,第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义2.线性方程组,B,A,C,D,3.某航空公司在,A,B,C,D,四城市之间开辟了若干航线,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从,A,到,B,有航班,则用带箭头的线连接,A,与,B,.,第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义,5,B3.某航空公司在 A,B,四城市间的航班图情况常用表格来表示:,发站,到站,其中 表示有航班.,为了便于计算,把表中的 改成,1,空白地方 填上,0,就得到一个数表:,A,B,C,D,A B C D,第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义,6,四城市间的航班图情况常用表格来表示:发站 到站 其中,0,0 0,0 0,0 0 0,这个数表反映了四城市间交通联接情况.,A,B,C,D,A B C D,1,1,1,1,1,0,1,1,第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义,7,二、矩阵的定义,设,m,1,n,1,由,m,n,个数(有时是表达式),a,ij,(,i,=1,2,m,j,=1,2,n,)排成的,m,行,n,列的,表格,a,11,a,12,a,1,n,a,21,a,22,a,2,n,a,m,1,a,m,2,a,mn,称为,m,行,n,列矩阵,.简称,m,n,矩阵,.记为,第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义,8,二、矩阵的定义 设 m 1,n 1,a,11,a,12,a,1,n,a,21,a,22,a,2,n,a,m,1,a,m,2,a,mn,A,=,简记为,矩阵,A,的(,m,n,)元素,元素是实数的矩阵称为,实矩阵,元素是复数的矩阵称为,复矩阵,.,主对角线,副对角线,A,=,A,m,n,=,(,a,ij,),m,n,=,(,a,ij,),.,a,ij,称为,A,矩阵的,i,行,j,列元素,或,(,i,j,),元素.,第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义,9,a11 a12 a1n A=简记为,例如,1 0 3 5,9 6 4 3,是一个,2,4,实矩阵,1,2,4,是一个,3,3,复矩阵,13 6 2,i,2 2 2,2 2 2,是一个,3,1,矩阵,(2 3 5 9),是一个,1,4,矩阵,(4),是一个,1,1,矩阵(是一个数).,第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义,10,例如 1 0 3 5 是一个 2 4,几种特殊矩阵,(1)只有一行的矩阵(,1,n,矩阵,),称为,行矩阵,或,行向量,.,A,=,(,a,1,a,2,a,n,),只有一列的矩阵(,m,1,矩阵,),称为,列矩阵,或,列向量,.,b,1,b,2,b,m,B,=,第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义,11,几种特殊矩阵(1)只有一行的矩阵(1 n 矩阵),a,11,a,12,a,1,n,a,21,a,22,a,2,n,a,m,1,a,m,2,a,mn,记,A,=,称,(,a,i,1,a,i,2,a,in,),为,A,的第,i,个行向量;,a,1,j,a,2,j,a,mj,称,为,A,的第,j,个列向量.,第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义,12,a11 a12 a1n 记 A=称,例如,是一个,3,阶方阵.,(2)行数与列数都等于,n,的矩阵,A,，称为,n,阶,方阵,.也可记作,A,n,.,13 6 5,1 2 3,2 2 2,(3)元素全为零的矩阵称为,零矩阵,，,m,n,零矩阵记作,0,m,n,或,0,.,注意,不同阶数的零矩阵是不相等的.,例如,0 0,0 0,(,0 0 0 0,),.,第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义,13,例如 是一个 3 阶方阵.(2)行数与列数都等于 n 的,1,0,0,0,2,0,0 0,n,(4)形如 的方阵,不全为 0,称为,对角,矩阵,(,或,对角阵,).,记作,A,=diag,(,1,2,n,),.,1,0,0,0 1,0,0 0,1,E,=,E,n,=,(5),方阵,称为,n,阶,单位矩阵,(,或,单位阵,).,全为 1,第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义,14,1 0 0(4)形如,2.两个矩阵,A,=,(,a,ij,),与,B,=,(,b,ij,),为同型矩阵,并且对应元素相等,即,则称,矩阵,A,与,B,相等,例如,为,同型矩阵.,同型矩阵,与,矩阵相等,的概念,1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为,同型矩阵,.,1 2 14,3,5 6 与 8 4,3 7 3 9,a,ij,=,b,ij,(,i,=1,2,m,;,j,=1,2,n,),记为,A,=,B,.,第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义,15,2.两个矩阵 A=(aij)与 B,线性方程组,a,11,x,1,+,a,12,x,2,+,a,1,n,x,n,=,b,1,a,21,x,1,+,a,22,x,2,+,a,2,n,x,n,=,b,2,(I),a,m,1,x,1,+,a,m,2,x,2,+,a,mn,x,n,=,b,m,完全由矩阵,a,11,a,12,a,1,n,b,1,a,21,a,22,a,2,n,b,2,a,m,1,a,m,2,a,mn,b,m,确定。,称此矩阵为线性方程组(I)的,增广矩阵,。,第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义,16,线性方程组 a11 x1+a12 x2+a,a,11,a,12,a,1,n,a,21,a,22,a,2,n,a,m,1,a,m,2,a,mn,A,=,称矩阵,是线性方程组(I)的,系数矩阵,。,第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义,17,a11 a12 a1n A,1 2 3,3 1 2,A,=,1,x,3,y,1,z,B,=,补充例1,设,解,已知,A,=,B,求,x,y,z,.,A,=,B,x,=2,y,=3,z,=2.,第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义,18,1 2 3A=,三、小结,(1),矩阵的概念,m,行,n,列的一个,数表,a,11,a,12,a,1,n,a,21,a,22,a,2,n,a,m,1,a,m,2,a,mn,A,=,第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义,19,三、小结(1)矩阵的概念 m 行 n 列的一个数表 a1,(2)特殊矩阵,方阵(,m,=,n,);,行矩阵与列矩阵,;,单位矩阵;,对角矩阵,;,零矩阵,.,A,=,(,a,1,a,2,a,n,),a,1,a,2,a,n,B,=,1,0,0,0 1,0,0 0,1,1,0,0,0,2,0,0 0,n,第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义,20,(2)特殊矩阵方阵(m=n);行矩阵与列矩阵,
展开阅读全文