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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,3-2,机械系统的运动方程求解方法,-,数值法,3-2-1,欧拉法,对,于常微分方程的定解问题，形如,3-2-1,所谓数值解法,就是寻求解,在一系列离散节点,上,的近似值,。相邻两个节点的间距,称为步长，一般在计算时常取步长为定值,这时节点,为,3-2,机械系统的运动方程求解方法,-,数值法,3-2-1,欧拉法,初值问题3-2-1的数值解法的求解过程为：给出用信息 计算 的递推公式，从初始条件出发，顺着节点排列的次序一步一步地向前推进。即所谓“步进式算法。,欧拉法以节点的差商代替导数值，构成的递推公式为：,即欧拉Euler公式：,3-2,机械系统的运动方程求解方法,-,数值法,3-2-1,欧拉法,从图3-2-1b可以看出，由于欧拉法是以差商代替导数，其误差较大。为了提高计算精度，一种方法是减小步长，但会导致累计误差增大，当步长减小到一定程度后，计算精度提高受限。另一种方法是改进算法，如改进的欧拉法、Runge-Kutta法等。,改进的欧拉法以 和 两个节点的差商的平均值来代替导数，由于 值为待求值，故计算 结点的差商采用预测，其迭代公式,可以证明，欧拉法具有1阶精度，而改进的欧拉法具有2阶精度,3-2,机械系统的运动方程求解方法,-,数值法,3-2-1,欧拉法,对于具有关于时间,2,阶导数的单自由度机械系统运动微分方程，形如,可令,将,上式,转化成,1,阶常微分方程组,其欧拉法的迭代公式为,3-2,机械系统的运动方程求解方法,-,数值法,3-2-1,欧拉法,改进的欧拉法的迭代公式为：,3-2,机械系统的运动方程求解方法,-,数值法,3-2-2,Newmark,-,法,Newmark,-,法是线性加速度法之一。对于具有关于时间,2,阶导数的单自由度机械系统运动微分方程式,，,其,的,Talar,展开式：,上式中取前三项，假设认为加速度在区间 ,为线性变化，那么有,代入上式,3-2,机械系统的运动方程求解方法,-,数值法,3-2-2,Newmark,-,法,线性加速度法的迭代公式,大致具有,3,阶精度,，,将上式的最后一项中,用,代替，即为,Newmark,-,法。其迭代公式为,式中,为调节公式特征的参数，一般取值范围为,3-2,机械系统的运动方程求解方法,-,数值法,3-2-2,Newmark,-,法,对于多自由度振动系统运动微分方程：,时刻有关系式,整理移项：,代入式,Newmark,-,法,迭代公式,3-2,机械系统的运动方程求解方法,-,数值法,3-2-3 Runge-Kutta,法,Runge-Kutta法是求解常微分方程应用最多的方法之一。对于微分方程的定解问题，欧拉法求解，其截断误差 故具有1阶精度，改进欧拉法，由于预测了 结点的差商并用 两个节点的差商的平均值来代替导数，可望到达2阶精度。实际上，在区间 的等价积分形式为,一般来说，接点数越多，计算越准确,通过增加积分求积的结点数提高计算精度，故将右端的积分表示为,3-2,机械系统的运动方程求解方法,-,数值法,3-2-3 Runge-Kutta,法,仿照欧拉法的迭代公式，写成,式中,均为待定常数,，,r,阶,Runge-Kutta,法,其中,称增量函数，可表示为,3-2,机械系统的运动方程求解方法,-,数值法,3-2-3 Runge-Kutta,法,工程中应用最多的是,4,阶,Runge-Kutta,法，其迭代公式为,3-2,机械系统的运动方程求解方法,-,数值法,3-2-3 Runge-Kutta,法,对于单自由度振动系统运动微分方程式，,Runge-Kutta,法的迭代公式为,3-3,机械系统的运动方程求解方法,-,半解析数值法,许多机械系统动力学问题的求解，需要联合运用公式推导和数值计算的方法，才能得到问题的解答，我们不妨称之为,半解析数值法,。如上一章讨论的偏置曲柄滑块机构动力学问题，其运动微分方程：,3-3-1,一、等效力矩是等效构件转角的函数时，即,对上式积分：,3-3,机械系统的运动方程求解方法,-,半解析数值法,由,例3-3-1：对于3-2-1所示的偏置曲柄滑块机构，假设 ，。1)试计算该曲柄滑块机构的等效转动惯量 及其导数 随曲柄转角 的变化规律。2)假设 由表3-3-1给定,初始条件：,求 与 t 之间的关系。,3-3,机械系统的运动方程求解方法,-,半解析数值法,表,3-3-1,等效力矩与曲柄转角关系,3-3,机械系统的运动方程求解方法,-,半解析数值法,解：1等效转动惯量 及其导数 的计算,运动学分析计算,假设曲柄作匀速转动,由上式第,2,式：,式中：,称,曲柄连杆比,连杆的传动角速度比,3-3,机械系统的运动方程求解方法,-,半解析数值法,解：1等效转动惯量 及其导数 的计算,运动学分析计算,滑块,C,速度,连杆,BC,质心,C,2,对应的传动速比及其导数,3-3,机械系统的运动方程求解方法,-,半解析数值法,解：1等效转动惯量 及其导数 的计算,等效转动惯量的计算公式,等效转动惯量,的,导数,3-3,机械系统的运动方程求解方法,-,半解析数值法,解：2求 与 t之间的关系,用,Matlab,编写的计算程序见附录,1,图,3-3-4,连杆角速度比和角加速度比的变化规律,图,3-3-5,连杆质心速度比和加速度比的变化规律,3-3,机械系统的运动方程求解方法,-,半解析数值法,解：2求 与 t之间的关系,图,3-3-6,滑块质心速度比和加速度比的变化规律,图,3-3-7,等效转动惯量的变化规律,3-3,机械系统的运动方程求解方法,-,半解析数值法,解：2求 与 t之间的关系,图,3-3-8,等效转动惯量的导数的变化规律,图,3-3-9,等效力矩与时间的关系,3-3,机械系统的运动方程求解方法,-,半解析数值法,图,3-3-10,曲柄角速度与时间的关系,3-3,机械系统的运动方程求解方法,-,半解析数值法,由于,根据力矩形式的运动微分方程,二、等效力矩是等效构件和角速度的函数,对于具有非定传动比的机构，其等效力矩一般与等效构件转角有关。假设其发动机或工作机的机械特性与机械的运动速度有关，如以电动机为动力源的机械，那么其等效力矩就是等效构件的转角和角速度的函数即 。工程中大量常见的机械系统都属于这种情况。,利用：,3-3,机械系统的运动方程求解方法,-,半解析数值法,二、等效力矩是等效构件和角速度的函数,移项有：,利用：,用数值法求解,3-3,机械系统的运动方程求解方法,-,半解析数值法,二、等效力矩是等效构件和角速度的函数,Euler,法的迭代公式为：,Runge-Kutta,法的迭代公式为：,式中：,3-3,机械系统的运动方程求解方法,-,半解析数值法,二、等效力矩是等效构件和角速度的函数,例3-3-2：对于例3-3-1所示的曲柄连杆机构，假设作用在曲柄上的驱动力矩为 ，作用在滑块C上的工作阻力 ，其中 为曲柄的实际角速度，为滑块的速度。曲柄AB的初始条件仍为：，其它参数同例3-3-1。求曲柄AB的运动情况。,因为,，代入上式得：,解：取曲柄,AB,为等效构件，其等效力矩为：,计算程序见附录,1,3-3,机械系统的运动方程求解方法,-,半解析数值法,二、等效力矩是等效构件和角速度的函数,图,3-3-12,等效力矩,随曲柄转角的变化,图,3-3-13,角速度随转角的变化,
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