变形--工程力学课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第,7,章 杆的变形,分析 刚度计算,l,l,d,d,7.1.1,拉压杆的变形和应变,纵向变形,反映变形的大小。,P,P,轴向线应变（,线应变、应变,）,反映了杆件横截面上任一点沿轴向的变形程度。,7.1,轴向拉压杆的变形,1,第7章 杆的变形分析 刚度计算lldd7.1.1,横向变形,（了解）,横向线应变,实验表明：,横向变形,第,7,章 杆的变形,分析 刚度计算,7.1.1,拉压杆的变形和应变,7.1,轴向拉压杆的变形,2,横向变形（了解）横向线应变实验表明：横向变形第7章 杆的,7.1.2,胡克定律,实验证明：在弹性范围内,材料拉压时的胡克定律。,拉压杆的胡克定律,EA,：,杆的,抗拉,(,压,),刚度,。反映了杆抵抗拉压变形的能力。,当轴力、截面分段不同时，分别计算变形，再求代数和。,轴力要代入符号。,3,7.1.2 胡克定律实验证明：在弹性范围内材料拉压时的胡克定,例：,阶梯杆直径分别为,A,1,=,4c,m,2,，,A,2,=,8c,m,2,，材料为,Q,235,钢，,E,=200,GPa,，求杆的总变形和最大轴向线应变。,40,kN,8,kN,20,kN,200,200,F,N,2,=,20,kN,F,N,1,=40,kN,解：,(1),分段求轴力，画轴力图。,（,2,）分别计算变形，求代数和。,F,N,x,40,kN,20,kN,1,1,2,2,60,kN,（,3,）计算最大线应变。,B,A,C,4,例：阶梯杆直径分别为A1=4cm2，A2=8cm2，材料为,7.2,圆轴扭转时的变形与刚度计算,相距,l,的两横截面的相对扭转角,:,在长为,l,的轴上,M,T,、,GI,P,均为常量时：,的单位为,rad,GI,P,称为圆轴的,抗扭刚度,。反映了圆轴抵抗扭转变形的能力。,7.2.1,圆轴扭转时的变形,若轴上各段,M,T,、,G,和,I,P,不同时，轴的总扭转角为,M,Ti,代入符号,5,7.2 圆轴扭转时的变形与刚度计算相距 l 的两横截面的,圆形截面的极惯性矩和扭转截面模量,y,z,D,d,抗扭转截面系数,6,圆形截面的极惯性矩和扭转截面模量yzDd抗扭转截面系数6,解：,（,1,）画扭矩图：,0.8,kNm,1.5,kNm,例,7.2,阶梯轴如图，已知,AB,段直径,d,1,=40,mm,，,BC,段直径,d,2,=70,mm,。材料的剪切弹性模量,G,=80,GPa,。求钢轴,A,、,C,两个截面的相对扭转角。,0.8m,1m,B,A,C,0.8,kNm,2.3,kNm,1.5,kNm,M,T,x,（,2,）求,A,、,C,两个截面的相对扭转角,7,解：（1）画扭矩图：0.8kNm1.5kNm例7.2 阶梯轴,单位为,rad,m,刚度条件：,7.2.2,圆轴扭转时的刚度计算,根据载荷性质和工作条件等因素确定。,对精密稳定传动,对一般传动,对精度要求不高传动,0.5,m,1,m,2,m,刚度计算：,1,、,刚度校核；,2,、,设计截面；,3,、,确定许可载荷。,工程实际中,常用单位为,m,注意：,单位：,N,m,8,单位为 rad m 刚度条件：7.2.,例题,受扭圆轴承受的外力偶矩如图所示，已知轴的直径,d=80,mm,，材料的许用切应力,=40,MPa,，,G=80,GPa,，,=,1,/,m,。试校核轴的强度和刚度。,2,kNm,2,kNm,2,kNm,6,kNm,2,k,Nm,4,k,Nm,2,k,Nm,解：,（,1,）画扭矩图,（,2,）校核强度：,强度满足要求。,（,3,）刚度校核,刚度满足要求。,x,M,T,9,例题 受扭圆轴承受的外力偶矩如图所示，已知轴的直径d=,例,7.3,传动轴为钢制实心轴，,t=,60,MPa,，,G=80,GPa,，,=1.5,/,m,。要求按强度和刚度条件设计轴的直径。,95,Nm,287,Nm,286,Nm,x,M,T,95,Nm,解：,（,3,）由刚度条件：,（,2,）由强度条件：,D,34,mm,取：,D,34,mm,（,1,）画扭矩图,刚度条件起决定作用。,A,C,D,B,286,Nm,573,Nm,192,Nm,10,例7.3 传动轴为钢制实心轴，t=60MPa，G=80,7.3,梁的弯曲变形和刚度计算,为保证弯曲构件正常的工作，不但要求构件具有足够的强度，在某些情况下，还要要求构件有足够的刚度，即弯曲变形不应过大，否则，将影响正常工作。,l,电葫芦爬坡，出现振动、噪音。,11,7.3 梁的弯曲变形和刚度计算 为保证弯曲构件正,齿轮轴变形将导致齿轮不能正常啮合、齿面磨损、轴与轴承配合不好，出现噪音。,P,1,P,2,轧辊,钢板,轧钢,轧辊变形，钢板沿宽度方向的厚度不均。,齿轮轴,12,齿轮轴变形将导致齿轮不能正常啮合、齿面磨损、轴与轴承配合不好,F,利用弯曲变形,缓冲、减震,汽车叠板弹簧,求解静不定梁则必须考虑梁的变形。,测力矩扳手,13,F利用弯曲变形缓冲、减震汽车叠板弹簧求解静不定梁则必须考虑梁,（,1,）挠曲线：,弯曲后的梁轴线。（弹性曲线）,对于平面弯曲，当外力位于梁纵向对称面内时，梁轴线在该平面内弯成一条平面曲线。,P,随梁的变形，横截面发生位移：,（,2,）挠度：,横截面绕中性轴产生的角位移，称为转角,。,某截面的形心在垂直于原轴线方向的位移为截面的,挠度,。,7.3.1,梁弯曲变形的基本概念,挠度和转角,（,3,）转角：,截面形心的水平位移忽略不计,14,（1）挠曲线：弯曲后的梁轴线。（弹性曲线）对于平,P,在纵向对称面内建立坐标系,挠曲线方程,挠度：向上为正。,转角：逆时针为正。,(,通常,=0.01745,弧度,),挠度和转角的关系：,=,f,(,x,),讨论弯曲变形的,关键,在于：建立梁的挠曲线方程。,（,4,）挠度和转角的关系,（挠度方程）,x,x,15,P在纵向对称面内建立坐标系挠曲线方程挠度：向上为正。转角：逆,挠曲线的微分方程,挠曲线近似微分方程,因为讨论小变形，,1,o,=0.0175,(,弧度,),弯曲变形基本公式,中性层曲率半径,：,即为轴线的曲率半径。,对于平面曲线，,曲率为：,7.3.2,挠曲线近似微分方程,引入曲率：,16,挠曲线的微分方程 挠曲线近似微分方程 因为讨论小,x,M,0,x,M,0,0,0 xM0 0 0与M 的符号总是相同。,7.3.3,积分法求梁的变形,每段梁有,C,、,D,两个,积分常数。,挠曲线近似微分方程,转角方程,挠曲线方程,根据支座处、分段处梁的已知位移情况，在规定坐标系中的数学表示式称为,边界条件,。,18,7.3.3 积分法求梁的变形每段梁有C、D两个积分常数。,m,m,x,x,x,m,图示各梁的材料、几何尺寸完全相同，受力如图。,m,x,x,x,挠曲线方程不同。,弯矩方程相同,曲率相同,挠曲线近似微分方程相同,受力相同,m,原因：梁的约束条件不同。,在图示坐标系中：,m,19,mmxxxm图示各梁的材料、几何尺寸完全相同，受力如图,B,q,A,l,边界条件,支座处：,满足支座约束特点。,积分法的重点：写边界条件。,边界条件的个数应等于梁段数的,2,倍。,分段处：,构件不折断，不开裂。（,连续光滑条件,）,例：写出下列梁的边界条件。,建立坐标系,x,，根据外力，梁分一段。,x,0,，,x,l,，,A,点：,B,点：,x,x,20,BqAl边界条件支座处：满足支座约束特点。积分法的重点：写边,C,q,A,B,l,x,例,7.4,简支梁抗弯刚度为,EI,，求其挠度和转角方程、跨中点挠度和,A,截面的转角。,（,1,）列出弯矩方程,（,2,）列出挠曲线微分方程并积分,（,3,）确定积分常数,解：,x,0,x,l,x,0,，,x,l,，,A,点：,B,点：,梁的挠度和转角方程,（,4,）求指定截面的挠度和转角,为梁的最大挠度和转角。,21,CqABlx例7.4简支梁抗弯刚度为EI，求其挠度和转角方,7.3.4,叠加法,材料力学讨论的是,线弹性小变形,，反力、内力、应力、变形都是载荷的,线性齐次,函数，所以在计算反力、内力、应力、变形等都可以应用叠加法。,叠加法：,几个载荷共同作用下所引起的某一物理量，等于各载荷单独作用时所引起的该物理量的总和。,利用叠加法求挠度和转角时，,可查阅,P,129,表格。,22,7.3.4 叠加法 材料力学讨论的是线弹性小变,解,叠加,l,A,B,m=ql,2,C,q,单独作用,m,单独作用,求梁,中点,C,的挠度和,B,截面,的转角。,例,B,q,A,l,m=ql,2,C,B,q,A,l,C,例,7.5,自习,23,解叠加lABm=ql2Cq单独作用m单独作用求梁中点C的挠度,例,求悬臂梁,B,端的挠度和转角。,C,B,A,q,l,q,B,A,q,1,=q,B,A,解,叠加,q,1,单独作用,将载荷等效变换,q,2,单独作用,由受力可知,B,点挠度转角最大。,a,q,q,B,A,q,2,=q,24,例 求悬臂梁B端的挠度和转角。CBAq lqBA,刚度条件,滑动轴承处,安装齿轮处,向心轴承处,吊车梁,l,为梁的跨度。,普通机床主轴,l,为支撑的跨度。,l,1,rad,=57.3,7.3.5,梁的刚度设计,25,刚度条件滑动轴承处安装齿轮处向心轴承处吊车梁l 为梁的跨度,例,7.7,起重,20,kN,的单梁吊车，由,No.28b,工字钢制成，,q,=47.9,kg/m,，,I,z,=7480,cm,4,，,l,=9,m,。已知,=,l/,500,，,=170,MPa,，,E,=210,GPa,。,要求：校核其强度和刚度。,解：,受力情况：,q,=479,N/m,F,=20,kN,梁的最大应力：,q,单独作用时，梁中点有最大弯矩,F,单独作用时，梁中点有最大弯矩,叠加：,刚度不满足要求,.,q,单独作用,F,单独作用,需要加大截面，选定后需要校核刚度。,27,例7.7起重20kN的单梁吊车，由No.28b工字钢制成，q,例,7.7,起重,20,kN,的单梁吊车，由,No.28b,工字钢制成，,q,=47.9,kg/m,，,I,z,=7480,cm,4,，,l,=9,m,。已知,=,l/,500,，,=170,MPa,，,E,=210,GPa,。,要求：校核其强度和刚度。,解：,受力情况：,q,=479,N/m,F,=20,kN,梁的最大应力：,梁中点的最大弯矩,刚度不满足要求,需要加大截面，选定后需要校核刚度。,整理,说明：,在很多情况下，构件自重对强度、变形的影响与载荷的影响相比很小，所以常常忽略重力。,28,例7.7 起重20kN的单梁吊车，由No.28b工字钢制成，,7.4,提高梁弯曲强度和刚度的措施,弯曲正应力强度条件,提高梁弯曲强度可从以下几个方面考虑：,1,、合理安排梁的受力,(,降低最大弯矩）,2,、选用合理的截面,(,增大弯曲截面系数）,3,、采用变截面梁,29,7.4 提高梁弯曲强度和刚度的措施弯曲正应力强度条件提高,7.4.1,合理安排梁的受力,(,降低最大弯矩）,（,1,）合理安排载荷,P,P,b,a,l,30,7.4.1合理安排梁的受力(降低最大弯矩）（1）合理安排载荷,（,2,）分散载荷,(,从使用方面考虑,),若：,P,P,P,31,（2）分散载荷(从使用方面考虑)若：PPP31,l,32,l32,l,l,0.2,l,0.2,l,（,3,）调整支座位置（从设计角度）,合理的支座位置,应使最大正弯矩和最大负弯矩数值相等。,合理布置支座位置，使,M,max,尽可能小。,移动支座后，可降低梁内的最大弯矩。,33,ll0.2l0.2l（3）调整支座位置（从设计角度）合理的支,双杠,x,x,l,当人在两支座中点时，,当人在自由端点时，,合理的设计应使：,龙门吊车,34,双杠xxl当人在两支座中点时，当人在自由端点时，合理的设计应,（,1,）在面积相等（即用材相等）的情况下，尽量增大抗弯截面系数。,7.4.2,合理选用截面的形状,即用最少的