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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.1.2,复数的几何意义,3.1.2复数的几何意义,最早,有关复数方根的文献出于公元,1,世纪,希腊,数学家,海伦,，他考虑的是平顶金字塔不可能问题。,16,世纪,意大利米兰,学者,卡尔达诺,第一次把负数的平方根写到公式中。,给出,“,虚数,”,这一名称的是,法国,数学家,笛卡尔,欧拉,第一次用,i,来表示,-1,的平方根，首创了用符号,i,作为虚数的单位。,挪威,的测量学家,韦塞尔,在,1797,年首先发表虚数的几何解释。,随即,瑞士,的藏书家,阿甘得,出书进行讨论。,1799,年,高斯,给予认同，并完善了复数的几何解释，他又第一次提出了“复数”这个名词，使得复数不再显得那么虚无缥缈了，人们从此真正接受了复数,.,最早有关复数方根的文献出于公元1世纪希腊数学家海伦，他考虑的,在几何上，我们用什么来表示实数,?,想一想,实数的几何意义,类比,实数的表示，可以用什么来表示复数？,实数可以用,数轴,上的点来表示。,实数,数轴,上的点,(,形,),(,数,),一一对应,x,0,1,实数的几何模型,:,在几何上，我们用什么来表示实数?想一想实数的几何意义类比实数,复数的一般形式？,Z=,a,+,bi,(,a,b,R,),实部,!,虚部,!,一个复数由什么唯一确定？,复数的一般形式？Z=a+bi(a,bR)实部!虚部!一个,复数,z=a+bi,有序实数对,(a,b),直角坐标系中的点,Z(a,b),x,y,o,b,a,Z(a,b),建立了平面直角坐标系来表示复数的平面,x,轴,-,实轴,y,轴,-,虚轴,（数）,（形）,-,复数平面,(,简称,复平面,),一一对应,z=a+bi,复数的几何意义（一）,复数z=a+bi有序实数对(a,b)直角坐标系中的点Z(a,实轴上的点表示实数，,除了原点外，,虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点表示实部不为零的虚数,.,总结提升,一般地，实轴上的点，虚轴上的点，各象限内的点分别表示什么样的数？,注意：点,Z,的坐标是（,a,b,）,而不是（,a,bi,）。,实轴上的点表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数,O,思考,1,：,复数与点的对应,X,Y,（）,+,i,；,（）,+,i,；,（）,i,；,（）,i,；,（）；,（）,i,；,O思考1 ：复数与点的对应XY（）,G,A,C,F,O,E,D,B,H,思考,2,：,点与复数的对应,(,每个小正方格的边长为,1,),X,Y,GACFOEDBH思考2：点与复数的对应(每个小正方格的边长,例,1,已知复数,z=(m,2,+m-6)+(m,2,+m-2)i,在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数,m,允许的取值范围。,表示复数的点所在象限的问题,复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题,转化,(,几何问题,),(,代数问题,),一种重要的数学思想：,数形结合思想,例1 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在,变式一：,已知复数,z=(m,2,+m-6)+(m,2,+m-2)i,证明对一切,m,，此复数所对应的点不可能位于第四象限。,不等式解集为空集,所以复数所对应的点不可能位于第四象限,.,变式一：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i,变式二：,已知复数,z=(m,2,+m-6)+(m,2,+m-2)i,在复平面内所对应的点在直线,x-2y+4=0,上，求实数,m,的值。,解：,复数,z=(m,2,+m-6)+(m,2,+m-2)i,在复平面内所对应的点是（,m,2,+m-6,，,m,2,+m-2,），,(m,2,+m-6)-2(m,2,+m-2)+4=0,，,m=1,或,m=-2,。,变式二：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复,练习：,实数,x,分别取什么值时，复数,对应的点,Z,在（,1,）第三象限？（,2,）第四象限？（,3,）直线,上？,解：（,1,）当实数,x,满足,即 时，点,Z,在第三象限,即 时，点,Z,在第四象限,（,2,）当实数,x,满足,（,3,）当实数,x,满足,即 时，点,Z,在直线 上,.,练习：实数x分别取什么值时，复数,起点为,O,还用点,坐标,表示过什么？,问题：,平面向量,每一个向量都对应一个坐标吗？,每一个坐标都对应一个向量吗？,向量与坐标能够一一对应,起点为O还用点坐标表示过什么？问题：平面向量每一个向量都对应,复数,z=a+bi,直角坐标系中的点,Z(a,b),一一对应,平面向量,一一对应,一一对应,复数的几何意义（二）,x,y,o,b,a,Z(a,b),z=a+bi,注意：,实数,0,与零向量对应。,相等的向量表示同一个,复数。,复数z=a+bi直角坐标系中的点Z(a,b)一一对应平面向量,x,O,z,=,a,+,b,i,y,复数的模的几何意义,Z,(,a,b,),对应平面向量 的模,|,，即,复数,z=,a,+,b,i,在复平面上对应的点,Z(,a,b,),到原点的距离。,|,z,|,=|,注意：不是实数的复数不能比较大小，但是复数的模可以比较大小。,xOz=a+biy复数的模的几何意义Z(a,b)对应平面向,实数绝对值的几何意义,:,复数的模其实是实数绝对值概念的推广,x,O,A,a,|,a,|=|,OA,|,实数,a,在数轴上所对应的点,A,到原点,O,的距离,.,x,O,z,=,a,+,bi,y,|,z,|=|,|,复数的模,复数,z,=,a,+,bi,在复平面上对应的点,Z(,a,b,),到原点的距离,.,的几何意义,:,Z(,a,b,),实数绝对值的几何意义:复数的模其实是实数绝对值概念的推广xO,练习：,1.,求下列复数的模：,(1)z,1,=,-,5i (2)z,2,=,-,3+4i (3)z,3,=5,-,5i,2.,求复数,z,1,=3+4i,及,z,2,=1,-,5i,的模，并且比较它们模的大小。,练习：2.求复数z1=3+4i 及z2=1-5i的模，,x,y,O,设,z=x+yi(x,yR),满足,|z|=5(zC),的,复数,z,对应的点在复平面上将构成怎样的图形？,5,5,5,5,以原点为圆心,半径为,5,的,圆,图形,:,例,2,：,xyO设z=x+yi(x,yR)满足|z|=5(zC),5,x,y,O,设,z=x+yi(x,yR),满足,3|z|5(zC),的,复数,z,对应的点在复平面上将构成怎样的图形？,5,5,5,5,3,3,3,3,图形,:,以原点为圆心,半径,3,至,5,的,圆环内,变式训练一：,5xyO设z=x+yi(x,yR)满足3|z|5,若复数,z(x,y),对应点集为圆,:,试求,z,的最大值与最小值,.,x,y,o,o,1,2,1,1,3,1,变式训练二：,若复数z(x,y)对应点集为圆:,(3)(2017,高考北京卷,),若复数,(1,i)(,a,i),在复平面内,对应的点在第二象限，则实数,a,的取值范围是,(,),A,(,，,1)B.(,，,1),C,(1,，,)D,(,1,，,),(1)(2017,高考全国卷,),复平面内表示复数,z,i(,2,i),的点位于,(,),A,第一象限,B.,第二象限,C,第三象限,D,第四象限,(2),在复平面内，复数,z,sin2,icos2,对应的点位于,(,),A,第一象限,B.,第二象限,C,第三象限,D,第四象限,C,D,B,高考链接：,(3)(2017高考北京卷)若复数(1i)(ai)在复,(4)如图所示，平行四边形,OABC,，顶点,O,，,A,，,C,分别表示,0,，,3,2i,，,2,4i,，试求：,(1),、所表示的复数；,(2),对角线 所表示的复数；,(3),B,点对应的复数,(4)如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0,(4)如图所示，平行四边形,OABC,，顶点,O,，,A,，,C,分别表示,0,，,3,2i,，,2,4i,，试求：,(1),、所表示的复数；,(2),对角线 所表示的复数；,(3),B,点对应的复数,解：,(1),，,所以 所表示的复数为,3,2i.,因为,，,所以 所表示的复数为,3,2i.,(2),，,表示的复数为,(3,2i),(,2,4i),5,2i.,(3),，,所以 所表示的复数为,(3,2i),(,2,4i),1,6i,即,B,点对应的复数为,1,6i.,(4)如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0,复数,z,=,a,+,b,i,有序实数对,(,a,b,),直角坐标系中,的点,Z,(,a,b,),（数）,（形）,一一对应,一一对应,一一对应,一一对应,一一对应,复数z=a+bi有序实数对(a,b)直角坐标系中（数）（形）,1.,数学知识：,(1),复平面,(2),复数的模,(3),复数的模的几何意义,2.,数学思想：,(1),转化思想,(2),数形结合思想,(3),类比思想,1.数学知识：(1)复平面(2)复数的模(3)复数的模的几,作业,课本,P55 A,组,4,，,5,B,组,1,，,2,导学案 补充作业,作业,
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