大学物理8振动

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,广义振动：任何物理量在某定值附近的周期变化。,第,8,章 振动,机械振动：物体在平衡位置附近来回往复的运动。,分解,简谐运动,复杂振动,合成,周期性复杂振动可以表示为,傅里叶（,Fourier）,级数,非周期性复杂振动可表示为,傅里叶（,Fourier）,积分,一般的周期性函数都可以用傅里叶级数展开,x,(,t,),被分解为（常数项除,外）频率,为,的一系列简谐振动,构成离散的,傅里叶,频谱,A,0,，,A,n,，,B,n,为相应简谐振动的振幅,方波,锯齿波,弹簧振子,8.1,简谐振动的微分方程,令,单摆,令,较小时,不同振动系统的微分方程具有相同的数学形式。,8.2,简谐振动的运动学方程,1.,振幅,2.,周期、频率、圆频率,周 期,频 率,圆频率,3.,称相位，是描述状态的物理量。称,初相位。,相位比时间更直接更清晰地反映振动的状态和周期性。,4.,周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定,。,，,写出其振动方程式。,例：已知简谐振动,解：,设振动方程为,当,t,=1,时,有,由图，,A=,2,m,。,当,t,=0,时有：,例：,某质点作简谐运动，振动曲线如图所示。试根据图中数据,写出振动表达式。,解得：,O,2,-,2,t,(s),x,(,m,),1,旋转矢量 的端点在 轴上的投影点的运动为简谐运动。,8.3,旋转矢量,简谐振动,旋转矢量,振幅,初相,相位,圆频率,模,初始夹角,夹角,角速度,物理模型与数学模型比较,R,k,M,m,例,:,定滑轮质量为,M,半径为,R,。跨过,滑轮的轻绳分别与重物,(,m,),和弹簧,(,k,),相连，,弹簧它端固定。,求系统的振动周期；,托住重物使绳子刚好拉直且弹簧无形变时将其释放,写出重物的振动方程。,解：,O,x,x,O,x,mg,R,k,M,m,x,例：,半径为,r,的均匀小球，可以在一半径,R,为的球形碗底部作纯滚动。求圆球在平衡位置附近做小振动的周期。,解：,建立图示坐标系，以小球为研究对象。,质心沿圆周切向方程：,小球绕质心转动方程：,接触点纯滚动：,小幅度振动条件：,联立解得：,周期,小球作平面平行运动可分解为质心的运动,+,绕质心的转动,例：,设想地球内有一光滑隧道，如图所示。证明质点,m,在此,隧道内的运动为简谐振动，并求其振动周期。,解：,满足简谐振动方程，故为简谐振动。,周期：,o,x,r,R,o,8.4,简谐振动的能量,可由能量守恒确定系统的微分方程和振动周期,例：,U,形管截面面积,S,，管中流体的质量,m,、,密度,，,求,液体振荡周期,T,。,解：,设偏离平衡位置的液柱高度,为,y,液柱作简谐振动。,机械能守恒,两边求导,分析受力,微分方程,振动周期,平衡位置,质心位置上升了,y,例：,半径为,r,的小球在半径为,R,的半球形大碗内作纯滚动，这种运动是简谐振动吗？如果是，求出它的周期。,机械能守恒,将上三式代入后，对时间求导数,其中,小角度振动时的周期,解：,设小球质心速度,，,角速度,例：,劲度系数为,K,的轻弹簧一端固定，另一端连接在,圆柱体的转轴上。圆柱体的质量和,半径,为,m,和,R,，,并可绕其转轴在平面上作纯滚动。试,求该系统的振动周期。,解：,由质心运动定理,相对质心的转动定理,由纯滚动条件,另解：,由系统的机械能守恒,由纯滚动条件,消去 可得：,对上式求导,8.5,简谐振动的合成,1.,方向相同、频率相同,合振动与分振动同方向，且频率相同。,【,矢量合成方法,】,由几何关系直接写出：,设,t=0,时刻对应两振动的旋转矢量,A,1,和,A,2,与,x,轴的夹角分别为 、。由于两旋转矢量以相同的角速度旋转因此它们的合矢量也以相同的角速度旋转。合矢量,A,在 方向的投影也代表一个简谐振动,且,表明合矢量的模就是合成振动的振幅。,两个同方向、同频率简谐振动的合成：,A,2,A,1,x,0,A,A,2,A,1,x,0,A,x,2,x,1,x,四边形 三角形 多边形,讨论：,相位差对合成振动的影响,两振动同相位，合成振幅最大,两振动反相位，合成振幅最小,一般情况下，合振幅在下述范围之间：,为简单起见,，,设两个振动的振幅相同,，,初相位相同并为零。,2.,方向相同、频率相近,拍频,：,单位时间内合振动振幅强弱变化的次数,.,拍频是,“,振幅,”,频率的两倍,.,电子测频,差拍振荡,同步锁模,音调校准,3.,方向垂直、频率相同,椭圆方程：,4.,方向垂直、频率不同,如果两个互相垂直的振动频率成整数比,合成运动具有周期性,运动轨道是封闭曲线,称为利萨如图形。,按阻尼大小的不同，微分方程有三种不同形式的解，代表了振动物体的三种运动方式。,振幅随时间而减小的振动叫做阻尼振动。,8.6,阻尼振动,其中,将形如 的解代入微分方程，得特征方程,其特征根是,弱阻尼,其中,:,A,0,和,决定于初始条件,振幅随时间,作指数衰减,振动周期大,于固有周期,系统从周期运动变为非周期振动。,临界阻尼,时,，,特征方程有两个相同实根,，,方程的解为,x,t,o,时,方程的解为,过阻尼,这种过阻尼运动方式是非周期运动,振动从开始最大位移缓慢回到平衡位置,不再做往复运动,.,弱 阻 尼,临界阻尼,过 阻 尼,时,特征方程有两个不同的实根，方程的解为,系统在周期性外力持续作用下所发生的振动称为受迫振动。,强迫力,:,阻尼力,:,恢复力,:,1.,方程与解,8.7,受迫振动,稳态解,暂态解,把稳态解代入原方程,，,通过比较系数确定振幅和相位：,驱动力的圆频率为某定值时,受迫振动的振幅达到极大。,共振振幅,共振圆频率,大阻尼,弱阻尼,无阻尼,越小，,；,越大,越接近于,为零时，,；,电磁共振选台,提高音响效果,改变固有频率,增大阻尼系数,避免共振,利用共振,据说,160,多年前，不可一世的拿破仑率领法国军队入侵西班牙时，部队行军经过一座铁链悬桥，随着军官雄壮的口令,队伍跨着整齐的步伐趋向对岸。正在这时,轰隆一声巨响,大桥坍塌,士兵、军官纷纷坠水。几十年后,圣彼得堡卡但卡河上，一支部队过桥时也发生了同样的惨剧。从此，世界各国的军队过桥时都不准齐步走，必须改用凌乱无序的碎步通过。一般认为，这是由于军队步伐的周期与桥的固有周期相近,发生共振所致。,1940,年，美国的一座大桥刚启用四个月，就在一场不算太强的大风中坍塌了。风的作用不是周期性的，这难道也是共振所致？其实，风有时也能产生周期性的效果，君不见节日的彩旗迎风飘扬吗？,随后在大风中因产生共振而断塌,1940,年,华盛顿的塔科曼,大桥,在大风中产生振动,解：,代入简谐振动表达式，则有,例：一放置在水平桌面上的弹簧振子,周期为,0.5,s,。当,t=0,时，,求 运动方程,例：,木板质量为,M,，,水平放在两相同的柱体,（,质量为,m,，半径为,r,）,上,，,板两端用两个弹性系数为,k,的轻弹簧连接,，,弹簧水平地挂在两固定点上,。,当系统作振动时,柱与板以及柱与地面间均作纯滚动,。,问,：,系统是否作简谐振动,?,如果是，求振动周期。,解：,以板为研究对象，由牛顿第二定律有：,因圆柱体作平面平行运动，则,质心运动定理：,绕质心转动定理：,圆柱与木板接触点纯滚动：,圆柱与地面接触点纯滚动：,联立可得：,木板作简谐振动：,例：,半径为,r,的均匀小球，可以在一半径,R,为的球形碗底部作纯滚动。求圆球在平衡位置附近做小振动的周期。,解：,建立图示坐标系，以小球为研究对象。,质心沿圆周切向方程：,小球绕质心转动方程：,接触点纯滚动：,小幅度振动条件：,联立解得：,周期,小球作平面平行运动可分解为质心的运动,+,绕质心的转动,例：,一弹簧振子由倔强系数为 的弹簧和质量为 的物块组成，将弹簧的一端与顶板相连。开始时物块静止,，,一颗质量为,，速度为,的子弹由下而上射入物块，并停留在物块中。,系统碰撞前后动量守恒：,物块碰撞前振子的平衡位置,：,物块和子弹碰撞后的新平衡位置,：,碰后系统动力学方程：,解：,以物块和子弹为对象，以系统碰撞后的平衡位置为坐标原点，向下为正方向。设物块碰前，物块相对弹簧原长的平衡位置为 ，碰后，物块和子弹构成系统的平衡位置相对弹簧原长为,，,忽略碰撞期间子弹的重力,。,求振子以后的振动振幅 与周期 ；,求物块从初始位置运动到最高点所需的时间 。,整理得：,，,其中,，,，,系统作简谐振动,。,振动周期：,运动学方程：,初始条件：,解得：,物块达到最高点时：,则：,