函数的零点与方程的解课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,4,.,5,.,1,函,数的零点与方程的解,指数函数与对数函数,4.5.1 函数的零点与方程的解指数函数与对数函数,函数的零点与方程的解课件,一,二,三,一、函数的零点,1,.,已知函数,f,(,x,),=,2,x+,6,.,(1),求方程,f,(,x,),=,0,的解,;,提示,:,由,2,x+,6,=,0,解得,x=-,3,.,(2),求函数,f,(,x,),的图象与,x,轴,的交点坐标,.,提示,:,交点坐标,A,(,-,3,0),.,(3),方程的解与函数图象与,x,轴,的交点的,横坐标之间是怎样的关系,?,提示,:,相等,.,一二三一、函数的零点,一,二,三,2,.,填空,:,函数的零点,(1),定义,:,对于函数,y=f,(,x,),我们把使,f,(,x,),=,0,的实数,x,叫做函数,y=f,(,x,),的零点,.,(2),几何意义,:,函数,y=f,(,x,),的图象与,x,轴交点的,横坐标,就是函数,y=f,(,x,),的零点,.,3,.,函数,y=f,(,x,),的零点是点吗,?,为什么,?,提示,:,不是,.,函数的零点的本质是方程,f,(,x,),=,0,的实数根,因此,函数的零点不是点,而是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,函数值为零,.,4,.,你能说出函数,y=,lg,x,;,y=,lg(,x+,1);,y=,2,x,;,y=,2,x,-,2,的零点吗,?,提示,:,y=,lg,x,的零点是,x=,1;,y=,lg,(,x+,1),的零点是,x=,0;,y=,2,x,没有零点,;,y=,2,x,-,2,的零点是,x=,1,.,一二三2.填空:,一,二,三,5,.,做一做,:,函数,f,(,x,),=x,2,-,1,的零点是,(,),A.(,1,0)B.(1,0),C.0,D,.,1,解析,:,解方程,f,(,x,),=x,2,-,1,=,0,得,x=,1,因此函数,f,(,x,),=x,2,-,1,的零点是,1,.,答案,:,D,一二三5.做一做:,一,二,三,二、方程、函数、图象之间的关系,1,.,考察下列一元二次方程与对应的二次函数,:,方程,x,2,-,2,x-,3,=,0,与函数,y=x,2,-,2,x-,3;,方程,x,2,-,2,x+,1,=,0,与函数,y=x,2,-,2,x+,1;,方程,x,2,-,2,x+,3,=,0,与函数,y=x,2,-,2,x+,3,.,(1),你能够画出关于上述方程的根,函数图象与,x,轴,的交点及,函数的零点的表格吗,?,一二三二、方程、函数、图象之间的关系,一,二,三,提示,:,一二三提示:,一,二,三,(,2),从你所列的表格中,你能得出什么结论,?,提示,:,方程,f,(,x,),=,0,有实数根,函数,y=f,(,x,),的图象与,x,轴,有交点,函数,y=f,(,x,),有零点,.,一二三 (2)从你所列的表格中,你能得出什么结论?,一,二,三,三、函数零点存在性定理,1,.,观察二次函数,f,(,x,),=x,2,-,2,x-,3,的图象,发现这个二次函数在区间,-,2,1,上有零点,x=-,1,而,f,(,-,2),0,f,(1),0,即,f,(,-,2),f,(1),0,.,二次函数在区间,2,4,上有零点,x=,3,而,f,(2),0,即,f,(2),f,(4),0,.,由以上两步探索,你可以得出什么样的结论,?,提示,:,如果函数,y=f,(,x,),在区间,a,b,上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,f,(,a,),f,(,b,),0,那么函数,y=f,(,x,),在区间,(,a,b,),内有零点,.,2,.,填空,:,函数零点存在性定理,:,如果函数,y=f,(,x,),在区间,a,b,上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,f,(,a,),f,(,b,),0,那么,函数,y=f,(,x,),在区间,(,a,b,),内有零点,即存在,c,(,a,b,),使得,f,(,c,),=,0,这个,c,也就是方程,f,(,x,),=,0,的根,.,一二三三、函数零点存在性定理,一,二,三,3,.,如果函数,y=f,(,x,),在区间,a,b,上的图象是间断的,上述定理成立吗,?,提示,:,不一定成立,由下图可知,.,4,.,反过来,如果函数,y=f,(,x,),在区间,a,b,上的图象是连续不断的一条曲线,函数,y=f,(,x,),在区间,(,a,b,),上存在零点,f,(,a,),f,(,b,),0,则,f,(,x,),在区间,(,a,b,),内没有零点,.,(,),答案,:,6,.,做一做,:,函数,f,(,x,),=x,3,+,2,x+,1,的零点一定位于下列哪个区间上,(,),A.,-,2,-,1B.,-,1,0,C.0,1D.1,2,解析,:,因为,f,(,-,2),=-,11,0,f,(,-,1),=-,2,0,f,(1),=,4,0,f,(2),=,13,0,所以,f,(,-,1),f,(0),0,.,所以,f,(,x,),的零点在区间,-,1,0,上,.,答案,:,B,一二三5.判断正误:,探究一,探究二,探究三,思想方法,随堂演练,求,函数的零点,例,1,判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出零点,.,(1),f,(,x,),=-,8,x,2,+,7,x+,1;,(2),f,(,x,),=,1,+,log,3,x,;,(3),f,(,x,),=,4,x,-,16;,分析,:,可通过解方程,f,(,x,),=,0,求得函数的零点,.,探究一探究二探究三思想方法随堂演练求函数的零点分析:可通过解,探究一,探究二,探究三,思想方法,随堂演练,(3),令,4,x,-,16,=,0,即,4,x,=,4,2,解得,x=,2,.,所以函数的零点为,2,.,反思感悟,因为函数,f,(,x,),的零点就是方程,f,(,x,),=,0,的实数解,也是函数,y=f,(,x,),的图象与,x,轴公共点的横坐标,所以求函数的零点通常有两种方法,:,一是代数法,令,f,(,x,),=,0,通过求方程,f,(,x,),=,0,的解求得函数的零点,;,二是几何法,画出函数,y=f,(,x,),的图象,图象与,x,轴公共点的横坐标即为函数的零点,.,探究一探究二探究三思想方法随堂演练(3)令4x-16=0,即,探究一,探究二,探究三,思想方法,随堂演练,变式训练,1,已知函数,f,(,x,),=x,2,+,3(,m+,1),x+n,的零点是,1,和,2,求函数,y=,log,n,(,mx+,1),的零点,.,解,:,由,题意知函数,f,(,x,),=x,2,+,3(,m+,1),x+n,的零点为,1,和,2,则,1,和,2,是方程,x,2,+,3(,m+,1),x+n=,0,的实根,.,所以函数,y=,log,n,(,mx+,1),的解析式为,y=,log,2,(,-,2,x+,1),.,令,log,2,(,-,2,x+,1),=,0,得,x=,0,.,所以函数,y=,log,2,(,-,2,x+,1),的零点为,0,.,探究一探究二探究三思想方法随堂演练变式训练1已知函数f(x),探究一,探究二,探究三,思想方法,随堂演练,利用函数零点存在定理,判断,函数零点的个数,例,2,判断,函数,f,(,x,),=,2,x,+,lg(,x+,1),-,2,的零点个数,.,探究一探究二探究三思想方法随堂演练利用函数零点存在定理判断函,探究一,探究二,探究三,思想方法,随堂演练,解,:,(,方法一,),f,(0),=,1,+,0,-,2,=-,1,0,f,(,x,),在区间,(0,2),内必定存在,实,数,根,.,又,f,(,x,),=,2,x,+,lg(,x+,1),-,2,在区间,(,-,1,+,),上为增函数,故,f,(,x,),有且只有一个零点,.,(,方法二,),令,h,(,x,),=,2,-,2,x,g,(,x,),=,lg(,x+,1),在同一平面直角坐标系中作出,h,(,x,),与,g,(,x,),的图象如图所示,.,由图象知,g,(,x,),=,lg(,x+,1),和,h,(,x,),=,2,-,2,x,的图象有且只有一,个,公共点,即,f,(,x,),=,2,x,+,lg(,x+,1),-,2,有且只有一个零点,.,探究一探究二探究三思想方法随堂演练解:(方法一)f(0)=,探究一,探究二,探究三,思想方法,随堂演练,反思,感悟,判断,函数零点个数的常用方法,1,.,解方程,f,(,x,),=,0,方程,f,(,x,),=,0,解的个数就是函数,f,(,x,),零点的个数,.,2,.,直接作出函数,f,(,x,),的图象,图象与,x,轴,公共点,的,个数就是函数,f,(,x,),零点的个数,.,3,.f,(,x,),=g,(,x,),-h,(,x,),=,0,得,g,(,x,),=h,(,x,),在同一平面直角坐标系中作出,y,1,=g,(,x,),和,y,2,=h,(,x,),的图象,则两个,图象,公共点,的,个数就是函数,y=f,(,x,),零点的个数,.,4,.,若证明一个函数的零点唯一,也可先由零点存在定理判断出函数有零点,再证明该函数在定义域内单调,.,探究一探究二探究三思想方法随堂演练反思感悟 判断函数零点个数,探究一,探究二,探究三,思想方法,随堂演练,变式训练,2,(1),若,abc,0,且,b,2,=ac,则函数,f,(,x,),=ax,2,+bx+c,的零点的个数是,(,),A.0B.1C.2D.1,或,2,(2),判断函数,f,(,x,),=x-,3,+,ln,x,的零点个数,.,(1),解析,:,b,2,=ac,方程,ax,2,+bx+c=,0,的判别式,=b,2,-,4,ac=b,2,-,4,b,2,=-,3,b,2,.,abc,0,b,0,.,因此,0,f,(2),=-,1,+,ln,2,=,ln,0,所以,f,(3),f,(2),0,说明函数,f,(,x,),=x-,3,+,ln,x,在区间,(2,3),内有零点,.,又,f,(,x,),=x-,3,+,ln,x,在区间,(0,+,),上是增函数,所以原函数只有一个零点,.,探究一探究二探究三思想方法随堂演练(2)解:(方法一)令f(,探究一,探究二,探究三,思想方法,随堂演练,判断,函数的零点所在的大致区间,例,3,(1),方程,log,3,x+x=,3,的解所在的区间为,(,),A.(0,2)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4),(2),根据表格中的数据,可以判定方程,e,x,-x-,2,=,0,的一,个,实数解,所在,的区间为,(,k,k+,1)(,k,N,),则,k,的值为,.,分析,:,(1),构造函数,f,(,x,),=,log,3,x+x-,3,转化为确定函数,f,(,x,),的零点所在的区间,;(2),构造与方程对应的函数,然后根据表格判断函数值的符号,从而确定零点所在的区间,再求,k,值,.,探究一探究二探究三思想方法随堂演练判断函数的零点所在的大致区,探究一,探究二,探究三,思想方法,随堂演练,解析,:,(1),令,f,(,x,),=,log,3,x+x-,3,则,f,(1),=,log,3,1,+,1,-,3,=-,2,0,f,(2),=,log,3,2,+,2,-,3,=,log,3,0,f,(4),=,log,3,4,+,4,-,3,=,log,3,12,0,则函数,f,(,x,),的零点所在的区间为,(2,3),所以方程,log,3,x+x=,3,的,实数,解,所在的区间为,(2,3),.,(2),记,f,(,x,),=,e,x,-x-,2,则该函数的零点就是方程,e,x,-x-,2,=,0,的,实数解,.,由题表可知,f,(,-,1),=,0,.,37,-,1,0,f,(0),=,1,-,2,0,f,(1),=,2,.,7