4.3非欧几何学解析

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,4.3,非欧几何学,欧氏几何学与罗氏几何学定理的不同,08,理 邹亚君,24,号,一、,回 顾 欧 式 几 何 学,二、非 欧 几 何 学,一、回 顾 欧 式 几 何 学,约公元前300年，古希腊数学家欧几里得集前人之大成，总结了人们在生产、生活实践中获得的大量的几何学问，规定了少数几个原始假定为公理、公设，并定义了一些名词概念，通过规律推理，得到一系列的几何命题，形成了欧几里得几何学，简称欧氏几何。,欧 几 里 得,1.,几 何 原 本,2.,几 何 原 本 介 绍,1.,几 何 原 本,欧几里得著有几何原本以下简称原本一书，该书共13卷，除第5、7、8、9、10卷是用几何方法表达比例和算术理论以外，其他各卷都是论述几何问题的。这部书成为传播几何学问的教科书达2023年之久，现代初等几何学即平面几何和立体几何的内容根本全包括在此书内。中国最早的译本是明代万历年间1607由大学士徐光启与意大利天主教传教士利玛窦合译的几何原本前6卷。原本之所以具有价值，不仅由于欧几里得特别详尽地搜集了当时所知道的一切几何资料，而更重要的是把那些分散的学问用规律推理的方法编排成一个有系统的演绎的几何学体系。他是历史上第一个制造了一个比较完整的数学理论的人。,2.,几何原本介绍,欧几里得的几何原本共有23个定义，5条公设，5条公理，他力图把几何学建立在这些原始的定义、公理和公设的根底上，然后以这些明显的假设为依据推证出体系里的一切定理。由于欧几里得所处的时代是人类文明的初期，受时代的局限，原本的规律系统不行能完善无缺，在很多地方消失了漏洞。例如：常常使用未经定义过的概念来解释一个新的概念；用了既不是公理，又不是公设，也没有证明过的结论作为论证命题的依据；等等。正由于如此，在原本问世后2023年中，一方面原本作为用规律来表达科学的典范，对数学其他分支甚至整个科学进展起着深远的影响；另一方面，对于原本在规律上的欠缺进展修改、补充和争论工作从未停顿过，对于原本中的定义、公理、公设的争论成了历代数学家的重要课题。尤其对于原本中的第五公设，很多数学家对它产生了疑心，最终导致非欧几何的创立。,二、非 欧 几 何 学,非欧几何学Non-Euclidean geometry 是一门大的数学分支，一般来讲，它有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。所谓广义式泛指一切和欧几里得几何不同的几何学，所以又叫非欧几里得几何学；狭义的非欧几何只是指罗氏几何来说的，至于通常意义的非欧几何，就是指罗氏几何和黎曼几何这两种几何。,1.,非欧几何学的诞生,2.,罗 氏 几 何 学,3.,黎 曼 几 何 学,4.罗氏几何学中不肯定成立的欧式几何学定理,5.,罗氏几何学与欧式几何学截然不同的定理,1.,非欧几何学的诞生,欧几里得的几何原本提出了五条公设，头四条公设分别为：,1.由任意一点到任意一点可作直线。,2.一条有限直线可以连续延长。,3.以任意点为心及任意的距离可以画圆。,4.凡直角都相等。,第五条公设说：同一平面内一条直线和另外两条直线相交，假设在某一侧的两个内角的和小于两直角，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。,长期以来，数学家们觉察第五公设和前四个公设比较起来，显得文字表达冗长，而且也不那么显而易见。有些数学家还留意到欧几里得在几何原本一书中直到其次十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。也就是说，在几何原本中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何进展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的争论。,由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们渐渐疑心证明的路子走的对不对？第五公设究竟能不能证明？,到了十九世纪二十年月，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。他提出了一个和欧式平行公理相冲突的命题，用它来代替第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，开放一系列的推理。他认为假设这个系统为根底的推理中消失冲突，就等于证明白第五公设。我们知道，这其实就是数学中的反证法。,但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在规律上毫无冲突的命题。最终，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：,第一，第五公设不能被证明。,其次，在新的公理体系中开放的一连串推理，得到了一系列在规律上无冲突的新的定理，并形成了新的理论。这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。,这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。这是第一个被提出的非欧几何学。,从罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中，可以得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：规律上互不冲突的一组假设都有可能供给一种几何学。,2.,罗 氏 几 何 学,罗巴切夫斯基几何的公理系统和欧几里得几何不同的地方仅仅是把欧式几何平行公理用“在平面内，从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替，其他公理根本一样。由于平行公理不同，经过演绎推理却引出了一连串和欧式几何内容不同的新的几何命题。,罗巴切夫斯基,我们知道，罗氏几何除了一个平行公理之外承受了欧式几何的一切公理。因此，但凡不涉及到平行公理的几何命题，在欧式几何中假设是正确的，在罗氏几何中也同样是正确的。在欧式几何中，凡涉及到平行公理的命题，在罗氏几何中都不成立，他们都相应地含有新的意义。下面举几个例子加以说明：,欧式几何：,同始终线的垂线和斜线相交。,垂直于同始终线的两条直线相互平行。,存在相像的多边形。,过不在同始终线上的三点可以做且仅能做一个圆。,罗氏几何：,同始终线的垂线和斜线不肯定相交。,垂直于同始终线的两条直线，当两端延长的时候，离散到无穷。,不存在相像的多边形。,过不在同始终线上的三点，不肯定能做一个圆。,从上面所列举的罗氏几何的一些命题可以看到，这些命题和我们所习惯的直观形象有冲突。所以罗氏几何中的一些几何事实没有像欧式几何那样简洁被承受。但是，数学家们经过争论，提出可以用我们习惯的欧式几何中的事实作一个直观“模型”来解释罗氏几何是正确的。,1868年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文非欧几何解释的尝试，证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面例如拟球曲面上实现。这就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题，假设欧几里得几何没有冲突，非欧几何也就自然没有冲突。,直到这时，长期无人问津的非欧几何才开头获得学术界的普遍留意和深入争论，罗巴切夫斯基的独创性争论也就由此得到学术界的高度评价和全都赞美，他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。,3.,黎 曼 几 何 学,欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理、挨次公理、连续公理及合同公理都是一样的，只是平行公理不一样。欧式几何讲“过直线外一点有且只有一条直线与直线平行”，罗氏几何讲“过直线外一点至少存在两条直线和直线平行”。那么是否存在这样的几何“过直线外一点，不能做直线和直线平行”？黎曼几何就答复了这个问题。,黎曼几何是德国数学家黎曼创立的，他在1851年所作的一篇论文论几何学作为根底的假设，其中明确的提出另一种几何学的存在，开创了几何学的一片新的宽阔领域。,黎曼,黎曼几何中的一条根本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。在黎曼几何学中不成认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。,近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用，在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而均匀的，但是整个时空却是不均匀的。在物理学中的这种解释，恰恰与黎曼几何的观念是相像的。,此外，黎曼几何在数学中也是一个重要的工具。它不仅是微分几何的根底，也应用在微分方程、变分法和复变函数论等方面。,4.罗氏几何学中不肯定成立的欧式几何学定理,欧几里得几何原本中，第1卷的命题1至命题28的证明没有用的平行公设，因此，这些命题对三种几何都成立，例如命题5，即：“等腰三角形两底角相等”对于三种几何学都对，但是欧式平面几何学中最主要的一些定理都用到平行公社。这些涉及平行公社的定理，在欧式几何学中成立，在罗氏几何学中就不肯定成立或根本不成立。在落实几何学中不肯定成立的欧氏几何学的定理有：,1两条平行直线不相交直线与第三条直线相交的同位角相等；,2通过不共线三点能做一圆；,3三角形三条高线交于一点；,4同一条直线的垂线和斜线肯定相交；,等等。,5.,罗氏几何学与欧式几何学截然不同的定理,而罗氏几何学真正与欧式几何学截然不同的定理中，下面几个是特别突出的：,1欧氏几何学中三角形内角和等于二直角，而罗氏几何学中，三角形内角和小于二直角；,2欧式几何学中存在无穷多彼此相像而不全等的三角形，罗氏几何学中不存在相像而不全等的三角形，即在罗氏几何学中，三角形三内角对应相等，则三角形全等。,3欧式几何学中存在无穷多矩形，而罗氏几何学中矩形不存在；,4欧式几何学中勾股定理成立，而罗氏几何学中勾股定理不成立。因此罗氏几何学的边角关系不同与平面三角学。,