算法案例1辗转相除法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,问题提出,1.,研究一个实际问题的算法，主要从算法步骤、程序框图和编写程序三方面展开,.,在程序框图中算法的基本逻辑结构有哪几种？在程序设计中基本的算法语句有哪几种？,2.“,求两个正整数的最大公约数”是数学中的一个基础性问题，它有各种解决办法，我们以此为案例，对该问题的算法作一些探究,.,辗转相除法与,更相减损术,复习引入,1,、,MOD ,表示什么意思？,a,MOD,b a,b (a b,是正整数,),a=b*q+r,(0=r,n).,第二步，计算,m,除以,n,所得的余数,r.,第三步，,m=n,，,n=r.,第四步，若,r=0,，则,m,，,n,的最大公约数等 于,m,；否则，返回第二步,.,思考,:,该程序框图和的程序如何表述？,INPUT m,，,n,DO,r=m MOD n,m=n,n=r,LOOP UNTIL r=0,PRINT m,END,输入,m,，,n,求,m,除以,n,的余数,r,m=n,n=r,r=0,？,是,输出,m,否,开始,结束,知识探究（二）,:,更相减损术,思考,1:,设两个正整数,m,n,，若,m-n=k,，则,m,与,n,的最大公约数和,n,与,k,的最大公约数相等,.,反复利用这个原理，可求得,98,与,63,的最大公约数为多少？,98-63=35,，,14-7=7.,21-7=14,，,28-7=21,，,35-28=7,，,63-35=28,，,二、更相减损术,可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之,。,第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用,2,约简；若不是则执行第二步。,第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。,（,1,）、,九章算术,中的更相减损术：,（,2,）、现代数学中的更相减损术：,1,、用更相减损术求两个正数,84,与,72,的最大公约数,练习：,思路分析：先约简，再求,21,与,18,的最大公约数,然后乘以两次约简的质因数,4,。,2,、求,324,、,243,、,135,这三个数的最大公约数。,思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出两个数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大公约数的最大公约数即为所求。,比较辗转相除法与更相减损术的区别,（,1,）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。,（,2,）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为,0,则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到。,小结,思考题,1,、用当型循环结构写出算法；,2,、试写出更相减损术的算法程序；,3,、试写出求两个正整数,m,、,n,的最小公倍数的程序。,评价一个算法好坏的一个重要标志是,运算的次数,，如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论算法,.,在多项式求值的各种算法中，秦九韶算法是一个优秀算法,.,