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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,专题七、电磁感应,例,解,专题七、电磁感应例解,当,kd,=(2n+1),，,即,当,kd,=2n,，即,当kd=(2n+1)，即 当kd=2n，即,例,（,A12,）,半径为和 的两圆形电流环同心共面放置，小环中电流强度为，且随时间的变化率为，大环中电流为。求：,1,、两环的互感系数,M,；,2,、大环中的互感应电动势,；,3,、大环圆周上的切向感应（涡旋）电场强度,；,4,、在大电流环圆周上某点放置一电量为,Q,的点电荷，然后拿走大电流环。当小环中电流强度在较短时间内从变为零的过程中，点电荷,Q,所受的切向冲量,P,；,5,、长为,L,、横截面积为,A,的绝缘空心管内有带电粒子沿轴向运动形成电流，已知每个运动带电粒子的质量为,m,、电量为,q,，速度相同，带电粒子的数密度为,n,，管内电流强度为,。考虑相对论效应，试给出管内带电粒子的总动量,P,；,6,、用第,5,小题中的绝缘空心管做成的边长为,的,正方形电流环取代第,3,小题中的圆形小电流环，设环很重，不计其运动。环中同一截面载流子速度相同，不计载流子间相互作用。试计算正方形环中载流子的总线动量,P,hid,，,这个动量称为“隐藏动量”；,7,、用线圈的磁矩,IS,来表示第,4,小题和第,6,小题的答案（,1/,0,0,c,2,）。,例（A12）半径为和 的两圆形电流环同心共面放置，,解：,1,、大电流环环心处的磁感应强度为,小环的磁通为,互感系数为,2,、小环对大环的互感磁通为,大环的互感电动势为,3,、,解：1、大电流环环心处的磁感应强度为小环的磁通为互感系数为2,4,、,Q,受到的冲量,5,、,4、Q受到的冲量5、,6,、设正方形线框右、左两边载流子的线密度和速度分别为,1,、,1,、,2,、,2,，两边的洛伦兹因子分别为,1,和,2,。则有,载流子从环的左边运动跑到右边能量守恒，即,左、右两边载流子的总动量为,6、设正方形线框右、左两边载流子的线密度和速度分别为1、,注意：上式中已不含载流子的微观量、,、。,7,、用磁矩表示第,4,、,6,小题中的,P,和,P,hid,。,我们看到，以上两式相同,注意：上式中已不含载流子的微观量、。7、用磁矩,例,(,22,决,),如图,所示，,O O,为固定不动的半径为,a,1,的圆柱金属轴，其电阻忽略。一内半径为,a,1,、外半径为,a,2,、厚为,h(R,2,，小圆环金属表面绝缘。两圆,环单位长导线的电阻均为,r,0,，磁感应强,度为,B,的匀强磁场垂直于图平面向里。一,单位长电阻来,r1,的长直金属细杆放在大圆,环上，并从距环心左侧为,R1/100,（,R2,）,的位置,ab,处，以速度,v,匀速向右沿环平,面滑动到相对环心与,ab,对称的位置,cd,处,，滑动过程中金属杆始终与大圆环良好的接,触。,试求,在上述滑动过程中通过小圆环导线,横截面的电荷量。（假设大圆环和金属杆中的电流在小圆环处产生的磁场为匀强磁场。半径为,R,、长为,l,的圆弧电流,I,在圆心处的磁场为,，长直电流,I,在距电流,r,处的磁场为,。,例（29F5)如图所示，半径分别为R1、横截面的电荷量。,解：,ab,滑动产生动生电动势，大小为：,(1),(2),将（,2,）式代入（,1,）式得,(3),以 、和 分别表示金属杆、杆左和右圆弧中的电流，方向如图所示,以,、,表示,a,、,b,两端的电压，由欧姆定律有,(4),(5),根据提示,得,解：ab滑动产生动生电动势，大小为：(1)(2)将（2）式,(6),(7),(,方向竖直向上,),(,方向竖直向下,),由（,4,）、（,5,）、（,6,）和（,7,）式可知整个大圆环电流在圆心处产生的磁,感应强度为,(8),于是在圆心处只有金属杆的电流,I,所产生磁场。,金属杆在,ab,位置时，杆中,电流产生的磁感应强度大小,为,(,方向竖直向下,),(9),杆中的电流,(10),(6)(7)(方向竖直向上)(方向竖直向下)由（4）、（5,(11),利用（,3,）、（,9,）、（,10,）和（,11,）式可得,(13),(14),(12),当金属杆位于,ab,处时，穿过小圆环圆面的磁感应通量为,同理，,当长直金属杆滑到,cd,位置时,穿过小圆环圆面的磁感应通量的改变为,(15),(11)利用（3）、（9）、（10）和（11）式可得(13),小圆环中产生的感应电动势为大小为,(18),(17),(16),小圆环导线中产生的感应电流为,在,t,内通过小环导线横截面的电荷量为,小圆环中产生的感应电动势为大小为(18)(17)(16)小圆,例,（,29j5),如图所示，一半径为,R,的轻质绝缘塑料薄圆盘水平放置，可绕过圆盘中心的竖直固轴无摩擦地自由转动。一半径为,a,的轻质小圆线圈,(a,R),固定在盘面上，圆线圈与圆盘共轴。在盘边缘处等间隔地固定,4,个质量均为,m,的带正电的金属小球，每个小球所带电荷量均为,q,。此装置处在一磁感应强度大小为,Bo,、方向竖直向上的均匀强磁场中。初始时圆盘静止，圆线圈中通有恒定电流,I,，方向沿顺时针方向（从上往下看）。若切断圆线圈中的电流，则圆盘将发生转动。求薄圆盘,稳定转动后,，圆盘在水平方向对每个金属小球的作用力的大小。假设金属小球可视为质点，不计小圆线圈的自感和带电金属小球因运动所产生的磁场。已知固定在圆盘面上的半径为,a,、通有电流,I,的圆线圈在圆盘面内、距线圈圆心的距离为,r,处（,ra,）产生的磁场的磁感应强度的大小为：，式中,k,m,为已知常量，当线圈中的电流沿顺时针方向时，盘面上磁场方向垂直盘平面且竖直向上。静电力常量为,k,e,。,例（29j5)如图所示，一半径为R的轻质绝缘塑料薄圆,解：,电荷受的力,：,切断线圈中的电流时，变化的磁场将产生涡旋电场,Ec,，所以电荷受到涡旋电场力；,运动电荷受磁场洛仑力；,电荷受圆盘的约束力；,电荷间的相互作用力。,先求电荷受的涡旋电场力和力矩。由对称性知圆盘边缘处的涡旋电场处处相等，则有,（,1,）,解：电荷受的力：切断线圈中的电流时，变化的磁场将产生涡旋电,（,2,）,（,3,）,切断电流，磁场消失，磁鑀改变量：,由（,1,）、（,2,）、（,3,）得,（2）（3）切断电流，磁场消失，磁鑀改变量：由（1）、（2）,涡旋电场沿顺时针方向,，涡旋电场,对,4,个电荷作用力的合力为零，合力,矩,L,不为零，小球带动圆盘转动。,（,4,）,（,5,）,4,个小球的冲量矩为,（,6,）,设小球的转动角速度为,，则由角动量定理得,（,7,）,（,8,）,涡旋电场沿顺时针方向，涡旋电场（4）（5）4个小球的冲量矩为,金属小球转动时受,B,0,的磁场力，其方向沿圆盘半径指向圆心，大小为,（,9,）,任一金属小球受另外三个金属小球的电场力,沿圆盘半径方向，大小,为,（,10,）,设圆盘,稳定转动后,，在水平方向对每个金属小球作用力的大小为,f,则,（,11,）,金属小球转动时受 B0 的磁场力，其方向沿圆盘半径指向圆心，,例 一圆柱形小永久磁棒竖直放置,(,如图,),，在其正上方离棒中心,1,m,处,的,磁感应强度为,B,。,一超导圆形小线圈自远处移至磁棒正上方，与棒共轴，,设线圈的半径为,a,，质量为,m,，自感为,L,，线圈只能上下运动,求平衡时线圈离棒中心的高度,Z,0,已知,aZ,0,;,(2),求线圈受小扰动后作上下小振动的周期（用,Z,0,表示）,.,N,S,例 一圆柱形小永久磁棒竖直放置(如图)，在其正上方离棒中,解,：,(1),小磁棒看成一小线圈磁矩，则,Z,处的磁场可表示为,当线圈平衡在,Z,0,处时，设线圈中的电流为,I,0,，则有,(1),(2),(3),(4),(5),用磁场的高斯定理求,Br:,解：(1)小磁棒看成一小线圈磁矩，则Z处的磁场可表示为,线圈受力平衡，即,(6),求得,(7),利用,(3),、,(4),式得,(2),线圈在平衡位置上移小量,Z,，则线圈中电流变为,I,0,+i,，由,(2),式得,(8),线圈受力,由,(5),式得,线圈受力平衡，即,以,(8),式代入上式，并利用,(6),式得,则,以(8)式代入上式，并利用(6)式,例,图,Oxy,是位于水平光滑桌面上的直角坐标系，在,x,0,的一侧，存在匀强磁场，磁场方向垂直于,Oxy,平面向里，磁感应强度的大小为,B,在,x,0,的一侧，一边长分别为,l,1,、和,l,2,的刚性矩形超导线框位于桌面上，框内无电流，框的一对边与,x,轴平行线框的质量为,m,，自感为,L,现让超导线框沿,x,轴方向以初速度,v,0,进人磁场区域试定量地讨论线框以后可能发生的运动情况及与初速度,v,0,大小的关系（假定线框在运动过程中始终保持超导状态）,例 图 Oxy是位于水平光滑桌面上的直角坐标系，在x0,例,例,运动方程为：,半个周期后，线框退出磁场区，将以速度,v,0,向左匀速运动因为在这种情况下,x,m,的最大值是,l,1,，故有,发生第,种情况要求：,框的初速度,v,0,较小，简谐振动，有,振动的振幅,：,运动方程为：半个周期后，线框退出磁场区，将以,求得运动速度：,当,设,x=l,1,，时间间隔从,0,到,t,1,，,则,有,线框全部进入磁场区域则匀速前进，由,求得运动速度：当设 x=l 1 ，时间间隔从0到 t,例 一直导体,MN,和一半径为,R,的金属圆环彼此重叠放置在水平面上，直导线,MN,固定不动，距金属圆环心,O,的距离为,r/2,，金属环静止时与直导体的交点电接触良好，导体和金属环单位长度的电阻均为,r,0,金属环单位长的质量为,m,0,。空间存在一均匀磁场，磁感应强度为,B,，方向垂直于水平面的向下,(,见图示,),。求：当迅速撤除磁场后金属圆环泊运动速度。,例 一直导体MN和一半径为R的金属圆环彼此重叠放置,解,(2),(1),(3),对回路,adcea,有,设图示电流，对回路,abcea,有,解(2)(1)(3)对回路adcea有设图示电流，对,联立,(1),、,(2),、,(3),式，解得,(,向左,),(,向右,),联立(1)、(2)、(3)式，解得(向左)(向右),例 圆柱形区域有磁场,B=B,0,sin,t,，光滑绝缘,细管,MN=2R,固定在,x,轴上并相对,y,轴对称。,MO,与,OO,之间的夹角为,0,。质量,m,、电量,q,的正点电荷,t=0,时位于,M,点。发现点电荷,q,在,MN,间以,O,为中心作简谐振动。试求：,（,1,）点电荷的振动频率,球,与,B,0,、,0,、,q,、,m,的关系；（,2,）点电荷对管壁作用力,的,y,分量,N,Y,。,解,（,1,）,例 圆柱形区域有磁场B=B0sint，光滑绝缘细管MN,小球加速度的,X,分量为：,小球的位置为：,由此可得：,（,1,）,（,2,）,由（,1,）、（,2,）两式得,故,小球加速度的X分量为：小球的位置为：由此可得：（1）（2）由,（,2,）小球所受涡旋电场力的,Y,分量为,小球所受洛伦兹力只有负,Y,分量，为,（2）小球所受涡旋电场力的Y分量为小球所受洛伦兹力只有负Y分,小球在,Y,方向受力平衡，故,小球在Y方向受力平衡，故,
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