学案5随机数的含义与应用课件

开始,学案5,随机数的含义与应用,开始学案5随机数的含义与应用,学点一,学点二,学点三,学点四,学点五,学点六,学点一学点二学点三学点四学点五学点六,返回目录,1.几何概型,事件,A,理解为区域,的,A,的概率只与子区域,A,的,成,而与,A,的,.满足以上条件的试验称为几何概型.,2.几何概型概率公式,在几何概型中,事件,A,的概率定义为:,P,(,A,)=,其中,表示,A,表示,.,3.随机数,某一子区域,A,几何度量(长度、面积或体积),正比,位置和形状无关,区域,的几何度量,子区域,A,的几何度量,返回目录 1.几何概型某一子区域A几何度量(长度、面积,返回目录,随机数就是在一定范围内,产生的数,并且得到这,个范围内的每一个数的机会一样.,4.现在大部分计算器都能产生01之间的均匀随机数(实数),例如,用函数型计算器产生随机数的方法如下:,每次按,键都会产生一个01之间的随机数,而且出现01内任何一个数的可能性是,的.,随机,SHIFT,Ran#,相同,返回目录 随机数就是在一定范围内 产生的数,返回目录,学点一 与长度有关的几何概型的求法,某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过(假设每一辆车带走站上的所有乘客),乘客到达汽车站的时间是任意的,求乘客候车时间不超过3分钟的概率.,【分析】,考查与长度有关的几何概型.,【解析】,这是一个几何概型问题.记,A,=“候车时间不超过3分钟”.以,x,表示乘客到车站的时刻,以,t,表示乘客到车站后来到的第一辆汽车的时刻,据题意,乘客必然在,t,-5,t,内来到车站,故,=,x,|,t,-5,x,t,（如图3-5-3）.,返回目录学点一 与长度有关的几何概型的求法某公共汽车站每隔,返回目录,若乘客候车时间不超过3分钟,必须,t,-3,x,t,所以,A,=,x,|,t,-3,x,t,据几何概率公式得,P,(,A,)=0.6.,图3-5-3,【评析】,(1)把所求问题归结到,x,轴上的一个区间内是解题的关键,然后寻找事件,A,发生的区域,从而求得,A,.,(2)本题也可这样理解:乘客在时间段(0,5内任意时刻到达,等待不超过3分钟,则到达的时间在区间2,5内.,返回目录若乘客候车时间不超过3分钟,必须t-3xt,返回目录,在两端相距6 m的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,则灯与两端距离都大于2 m的概率是多少?,解:,灯挂在绳子上的每一个位置都是一个基本事件,即整个区域的几何度量为,=6 m.记“灯与两端距离都大于2 m”为事件,A,则把木杆三等分,当绳子挂在中间一段上时,事件,A,发生,即,A,=2 m.,所以由几何概型的概率公式,得 .,返回目录在两端相距6 m的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏,返回目录,学点二 与面积有关的几何概型,在图3-5-4所示的边长为2的正方形中随,机撒一大把豆子，计算落在正方形的内,切圆中的豆子数与落在正方形中的豆子,数之比，并以此估计周圆率的值.,【分析】,如果我们把“在正方形中撒豆子”看成试验，把“豆子落在圆中”看成随机事件,A,.则落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数的比值就是事件,A,发生的频率.当我们散一大把豆子时，这时频率可以近似地看成事件,A,的概率，可以认为这是一个几何概型问题.,图3-5-4,返回目录学点二 与面积有关的几何概型在图3-5-4所示,返回目录,【解析】,由几何概型的计算公式得,所以=4,P,(,A,).,我们在正方形中撒了,n,颗豆子，其中有,m,颗豆子落在圆中，则圆周率的值近似等于 .,【评析】,找出事件A发生的条件，并把它在图中的区域找出来，分别计算面积即可.,返回目录【解析】由几何概型的计算公式得【评析】找出事,返回目录,甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时,假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达,试求这两艘船中至少有一艘在停靠时必须等待的概率.,解:考查与面积有关的几何概型.,设,A,=两艘船中至少有一艘停靠时等待.建立平面直角坐标系(如图),x,轴表示甲船到达的时间,y,轴表示乙船到达的时间,则(,x,y,)表示的所有结果是以24为边长的正方形.,返回目录甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时,假定它们在一,返回目录,事件,A,发生的条件是0,x-y,6或0,y-x,6,即图中阴影部分,则,=24,2,A,=24,2,-18,2,.,P,(,A,)=,即这两艘船中至少有一艘在停靠时必须等待的概率是.,返回目录事件A发生的条件是0 x-y6或0y-x6,即,返回目录,学点三 与体积有关的几何概型的求法,在1升高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子,从中随机取出10毫升,则取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是多少?,【分析】,考查与体积有关的几何概型.,【解析】,设,A,=取出10毫升种子,含有病种子,则,=,1 000毫升,A,=10毫升,P,(,A,)=,即取出种子中含麦锈病的种子的概率是0.01.,返回目录学点三 与体积有关的几何概型的求法在1升高产小,返回目录,【评析】(1)病种子在这1升种子中的分布可以看作是随机的,有无限个结果,并且是等可能的,是几何概型.取得的10毫升种子可看作构成事件的区域,1升种子可看作是试验的所有结果构成的区域.,(2)要注意使用“几何概型”的条件.,返回目录【评析】(1)病种子在这1升种子中的分布可以看作,返回目录,如图3-5-5所示,有一杯2升的水,其中含有一个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升水,求小杯水中含有这个细菌的概率.,解:设,A,=小杯水中含有这个,细菌.则,=2升,A,=0.1升,P,(,A,)=,图3-5-5,返回目录如图3-5-5所示,有一杯2升的水,其中含有一个细菌,返回目录,学点四 与角度有关的几何概型的求法,【分析】,考查与角度有关的几何,概型.,【解析】,在,AB,上取,AC,=,AC,则,ACC,=67.5.,设,A,=在,ACB,内部作一条射线,CM,与线段,AB,交于点,M,AMAC,.则,=90,A,=67.5,P,(,A,)=,如图3-5-6,在等腰Rt,ABC,中,过直角顶点,C,在,ACB,内部作一射线,CM,与线段,AB,交于点,M,求,AMAC,的概率.,图3-5-6,返回目录学点四 与角度有关的几何概型的求法【分析】,返回目录,【评析】(1)射线,CM,随机地落在,ACB,内部,故,ACB,为所有试验结果构成的区域,当射线,CM,落在,ACC,内部时,AM,AC,故,ACC,为构成事件的区域.,(2)事件区域是角域,可用角度刻画.,返回目录【评析】(1)射线CM 随机地落在ACB内部,返回目录,若题目改为:在等腰Rt,ABC,中,在斜边,AB,上取一点,M,求,AMAC,的概率,答案一样吗?,解:在,AB,上截取,AC,=,AC,AC,=,设,A,=在斜边,AB,上取一点,M,AM AC,则,=,AB,A,=,P,(,A,)=,故不一样.,返回目录若题目改为:在等腰RtABC中,在斜边AB上取一点,返回目录,学点五 用随机数模拟法估算几何概率,取一根长度为3 m的绳子,拉直后在任意位置剪断,用随机模拟法估算剪得两段的长都不小于1 m的概率有多大?,【分析】,在任意位置剪断绳子,则剪断位置到一端点的距离取遍0,3内的任意实数,并且每一个实数被取到的可能性相等,因此在任意位置剪断绳子的所有结果(即基本事件)对应0,3上的均匀随机数,其中1,2上的均匀随机数就表示剪断位置与端点的距离在1,2内,也就是剪得两段的长都不小于1 m,这样取得的1,2内的随机数个数与0,3内的随机数个数之比就是事件,A,发生的频率.,返回目录学点五 用随机数模拟法估算几何概率取一根长度为,返回目录,【解析】,记事件,A,=剪得两段的长都不小于1m.,利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数,a,1,=rand.,经过伸缩变换,a=a,1,*3.,统计出试验总次数,N,和1,2内的随机数个数,N,1,.,计算频率,f,n,(,A,)=,N,1,/,N,即为概率,P,(,A,)的近似值.,【评析】用随机模拟法估算几何概率的关键是把事件,A,及基本事件空间对应的区域转化为随机数的范围.,返回目录【解析】记事件A=剪得两段的长都不小于1m,返回目录,甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个一刻钟，如果另一个人还没到，这时即可离去.求两人能会面的概率.,解:,x,和,y,分别表示甲、乙两人到达,约会地点的时间,则两人能够会面的充,要条件是|,x,-,y,|15.,在平面上建立直角坐标系如图,则,(,x,y,)的所有可能结果是边长为60的正,方形,而可能会面的时间用图中的阴影部分表示.这是一,个几何概型问题,由等可能性知,答:甲、乙两人能够会面的概率是,返回目录甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到,返回目录,学点六 用随机模拟法近似计算不规则图形的面积,【分析】,在坐标系中画出矩形(,x,=,x,=-,y,=1和,y,=6所围成的部分),用随机模拟的方法可以得到阴影部分的面积的近似值.,利用随机模拟的方法近似计算图形如图3-5-7中阴影部分的面积:,y=x,2,+1与,y,=6所围成区域的面积.,图3-5-7,返回目录学点六 用随机模拟法近似计算不规则图形的面积,返回目录,【解析】,(1)利用计算器或计算机产生两组0至1之间的均匀随机数,a,1,=rand,b,1,=rand;,(2)进行平移和伸缩变换,a,=(,a,1,-0.5)*2,b,=5*,b,1,+1;,(3)数出落在阴影内的样本点数,N,1,总试验次数为,N,用几何概型公式计算阴影部分的面积为,S,=.多做几次试验,得到的面积会更精确.,【评析】要记住公式 .其中,N,为总的试验次数,N,1,为落在不规则图形内的试验次数.,返回目录【解析】(1)利用计算器或计算机产生两组0至1之,返回目录,解:(1)利用计算机产生两组0,1上的均匀随机数,a,1,=rand,b,1,=rand.,(2)进行平移和伸缩变换,a,=(,a,1,-0.5)*2,b,=,b,1,*2,得到一组-1,1上的均匀随机数和一组0,2上的均匀随机数.,利用随机方法计算如图3-5-8中阴影部分(曲线,y,=2,x,与,x,轴,x,=1围成的部分)的面积.,图3-5-8,返回目录解:(1)利用计算机产生两组0,1上的均匀随,返回目录,(3)统计试验总数,N,和落在阴影内的点数,N,1,(满足条件,b,2,a,的点(,a,b,)数).,(4)计算频率,即为点落在阴影部分的概率的近似值.,(5)用几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为,P,=.,所以 .,所以 ,即为阴影部分面积的近似值.,返回目录(3)统计试验总数N和落在阴影内的点数N1(满足,1.如何理解几何概型?,(1)几何概型的两个特点:一是无限性,即在一次试验中,基本事件的个数是无限的;二是等可能性,即每一基本事件发生的可能性是均等的.因此,用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的,同属于“比例方法”.即随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形面积(体积、长度)”与“试验的基本事件空间所占总面积(总体积、长度)”之比来表示.,(2)基本事件的“等可能性”的判断很容易被忽略,从而导致各种错误.,返回目录,1.如何理解几何概型?返回目录,返回目录,2.随机数是如何产生的?如何理解随机模拟试验?,(1)随机数的产生,利用计算器或计算机产生0,1上的均匀随机数,x,1,=rand,然后利用伸缩和平移变换,x,=,x,1,*(,b,-,a,)+,a,就可以得到,a,b,内的均匀随机数,试验的结果是,a,b,上的任何一个实数,并且任何一个实数都是等可能出现的.,(2)随机模拟试验,用频率估计概率时,需做大量的重复试验,费时费力,并且有些试验具有破坏性,有些试验无法进行,因而随机模拟试验就成为一种重要的方法,它可以在短时间内多次重复.用计算器或计算机模拟试验,首先需要把实际问题转化为可以用随机数来模拟试