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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,“恒成立问题是数学中常见的问题，涉及到一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的性质、图象,渗透着换主元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型:一次函数型；二次函数型；指数、对数型；三角函数型；数列型等。解法通常使用:函数最值法；变量别离法；数形结合法.,讲座内容目录,恒成立问题常见的题型,1,恒成立问题解决的基本策略,2,解决恒成立问题常用的方法,3,恒成立与有解的区别,4,讲座内容,一、恒成立问题常见的题型,2.由等式或不等式恒成立求参数的值或取值范围,3.证明不等式恒成立,1.函数、数列的恒成立问题,二、恒成立问题解决的根本策略,两个基本思想解决“恒成立问题”,思路,1：,思路,2：,如何在区间,D,上求函数,f(x),的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理等等方法求函数,的最值,。,三、解决恒成立问题常用的方法,常用,方法,1,函数性质法,2,变量分离法,3,变换主元法,4,数形结合法,函数性质法,1,.,函数性质法,1,.,（,1,）,恒成立问题与一次函数联系,：给定一次函数,，若,在,内恒有,则根据函数的,，,图像（直线）可得上述结论等价于,）,或,）,亦可合并成,.,1.函数性质法,函数性质法,1,.,函数性质法,1,.,如图所示,.同理，若在,内恒有,则有,1恒成立问题与一次函数联系,【例,1,】如果当自变量满足,时，函数,恒成立，求实数,的范围,.,解：,2恒成立问题与二次函数联系类型一,类型,1：设,，,在全集,上恒成立问题：,上恒成立,（,2）,上恒成立,（,1）,2恒成立问题与二次函数联系：,【例,2,】若函数,的定义域为,则实数,的取值范围为,_,，即,在,上恒成立，也即,恒成立，所以有,解得,.,解：已知函数的定义域为,2恒成立问题与二次函数联系：,3恒成立问题与二次函数联系类型二,类型,2：设,，,上恒成立问题：,在区间,（,1）当,时，,上恒成立,，,上恒成立,2恒成立问题与二次函数联系：,类型,2：设,，,上恒成立问题：,在区间,（,2）当,时，,上恒成立,上恒成立,2恒成立问题与二次函数联系：,【例,3,】,已知函数,，在,上,恒成立，,的取值范围,.,求,解：,，令,在,上的最小值为,当,，即,时，,又,不存在,.,当,，即,时，,又,当,，即,时，,又,综上所述，,.,2恒成立问题与二次函数联系：,变量分离法,2,.,变量分离法,2,.,恒成立,；,恒成立,将含参数的恒成立式子中的参数分离出来，化成形如：,或,或,恒成立的形式,.,恒成立,的范围是,的值域；,则,若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解,.,2.变量别离法,【例,4,】当,时，不等式,恒成立，那么,的取值范围是,.,解：当,时，由,得,.令,则易知,在,上是减函数，,，,.,所以,2.变量别离法：,变换主元法,3,.,变换主元法,3,.,处理含参不等式恒成立的某些问题时，假设能适时的把主元变量和参数变量进行“换位思考，往往会使问题降次、简化。,3,.变换主元法,【例,5,】对任意,，不等式,恒成立，求,的取值范围,.,解：令,，则原问题转化为,恒成立（,）,.当,时，可得,，不合题意,.,时，应有,解之得,的取值范围为,当,3,.变换主元法：,数形结合法,4,.,数形结合法,4,.,数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数与“形结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合.应用数形结合思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征.,4,.数形结合法,【例,6,】设,若恒有,成立,求实数,的取值范围,.,解：在同一直角坐标系中作出,及,的图象,如图所示，,的图象是半圆,的图象是平行的直线系,要使,恒成立，,则圆心,到直线,的距离满足,解得,（舍去,),x,-2,-4,y,O,-4,4,.数形结合法：,四、恒成立与有解的区别,恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，,恰当使用，等价转化，切不可混为一团。,（,1）不等式,在,时恒成立,（,2）不等式,在,时有解,（,3）不等式,在,时恒成立,（,4）不等式,在,时有解,【例,】设函数,，若,在,上有解，求实数,的范围,.,解法一：当,时，,解法二：,或,，,四,.恒成立与有解的区别：,关于“恒成立问题的策略还有很多，对于某些“恒成立题目，不一定用一种方法，还可用多种方法去处理。这就要求我们养成良好的数学思维，有良好的观察与分析问题的能力，灵活的转化问题能力，使所见到的“恒成立问题更有效地解决。,友情提醒：,友情提醒,END,
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