资源描述
单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第二节 空间几何体的外表积与体积,根底梳理,1.柱体、锥体、台体的侧面积,就是各侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和,即侧面积与底面积之和.,2.把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形,称为它的展开图,它的表面积就是展开图的面积.,3.圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积,4.柱、锥、台体的体积,这是柱体、锥体、台体统一计算公式,特别地，圆柱、圆锥、圆台还可以分别写成:,5.球的体积及球的外表积,设球的半径为R,典例分析,题型一 几何体的外表积问题,【例1】一个正三棱台的两底面边长分别为30 cm和20 cm,且其侧面积等于两底面面积之和,求棱台的高.,分析 要求正棱台的高，首先要画出正棱台的高，使其包含在某一个特征直角梯形中，转化为平面问题，由条件列出方程，求解所需的几何元素.,解,如图所示,正三棱台ABC-中,O、分别为两底面中心,D、分别为BC和 中点,则 为棱台的斜高.,设 =20,AB=30,则OD=5 ,=,由 ,得,在直角梯形 中,棱台的高为4 cm.,学后反思 (1)求解有关多面体外表积的问题,关键是找到其特征几何图形,解决旋转体的外表积问题,要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图.,2借助于平面几何知识,利用条件求得所需几何要素.,举一反三,一个球内有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为 和 ，试求球的外表积.,解析：1当球心在两个截面同侧时，如图1所示.,设OD=x，由题意知,同理可得BD=20 cm.,设球半径为R，那么依题意得：,即 解得x=15 cm,R=25 cm.故,2当球心在两个截面之间时，如图2所示，,设OD=x cm，那么OC=(9-x)cm.,由题意得,CA=7 cm，,同理可得BD=20 cm.,设球半径为R,那么依题意知,即 此方程无正数解.,故此种情况不可能.综上可知,球的外表积为,【例2】,直平行六面体的底面为菱形,过不相邻两条侧棱的截面面积分别为 ,求它的侧面积.,分析,要求此棱柱的侧面积,只要求它的底面边长与高即可.,解 设直平行六面体底面边长为a,侧棱长为l,如图,那么 ,因过,的截面都为矩形,从而 那么,又ACBD,即,所以,学后反思 (1)在多面体或旋转体中，要正确识别和判断某截面图形的形状和特征.,2用量来表示侧面面积公式中的未知量，利用平面几何知识菱形的对角线互相垂直平分，采用整体代入，设而不求，减少了运算量，简化了运算过程.,举一反三,2.三棱柱 的底面是等腰三角形(AB=AC),BAC=2,上底面的顶点 在下底面的射影是下底面三角形外接圆圆心O,下底面ABC外接圆半径为R,侧棱 和AB成2角,求三棱柱的侧面积.,AOBC,BC,BC平面 ,BC,故 BC,又BC=2Rsin 2,解析：如下图,作ODAB于D,那么AD=Rcos,AB=2Rcos,易知,AD，且 D=2,题型二 几何体的体积问题,【例3】四棱台两底面均为正方形，边长分别为4 cm，8 cm，侧棱长为8 cm，求它的侧面积和体积.,分析,由题意知,需求侧面等腰梯形的高和四棱台的高,然后利用平面图形面积公式和台体体积公式求得结论.,解,如图,设四棱台的侧棱延长后交于点P,则PBC为等腰三角形,取BC中点E,连接PE交 于点 ,则PEBC,E为侧面等腰梯形的高,作PO底面ABCD交上底面于点 ,连接 、OE.,在P 和PBC中,为PB的中点,为PE的中点.,在RtPEB中,在RtPOE中,学后反思 1求棱台的侧面积与体积要注意利用公式以及正棱台中的“特征直角三角形和“特征直角梯形，它们是架起“求积关系式中的未知量与满足题设条件中几何图形元素间关系的“桥梁.,2平行于棱台底面的截面分棱台的侧面积与体积比的问题，通常是“还台为锥，而后利用平行于棱锥底面的截面性质去解.“还台为锥借助于轴截面，将空间问题转化为平面问题，求出相关数据，进行计算.“还台为锥是解决棱台问题的重要方法和手段.,举一反三,3.如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是边长为1的正方形,且ADE、BCF均为正三角形,EFAB,EF=2,那么该多面体的体积为 .,解析,如图,分别过A、B作EF的垂线,垂,足分别为G、H,连接DG、CH,易求得,EG=HF=,AG=GD=BH=HC=,答案,题型三 组合体的体积和外表积问题,【例4】(12分)如图,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,DAB=60,E为AB的中点,将ADE与BEC分别沿ED、EC向上折起,使A、B重合,求形成三棱锥的外接球的体积.,分析,易知折叠成的几何体为棱长为1的正四面体,欲求外接球的体积，求其外接球半径即可.,解,由已知条件知,在平面图形中,AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.1,所以折叠后得到一个正四面体.,方法一:如图，作AF面DEC,垂足为F,F即为DEC的中心3,取EC中点G,连接DG、AG,过外接球球心O作OH面AEC,则垂足H为AEC的中心.5,外接球半径可利用OHAGFA求得.,AG=,AH=AG=，,AF=,7,在AFG和AHO中,根据三角形相似可知,.10,外接球体积为 .12,方法二:如图,把正四面体放在正方体中.显然,正四面体的外接球就,是正方体的外接球.4,正四面体棱长为1,正方体棱长为 ,.6,外接球直径2R=,10,R=,体积为 12,学后反思 (1)折叠问题是高考经常考查的内容之一,解决这类问题要注意对翻折前后线线、线面的位置关系，所成角及距离加以比较.一般来说，位于棱的两侧的同一半平面内的元素其相对位置的关系和数量关系在翻折前后不发生变化，分别位于两个半平面内的元素其相对位置关系和数量关系那么发生变化;不变量可结合原图形求证，变化量应在折后立体图形中求证.对某些翻折不易看清的元素，可结合原图形去分析、计算，即将空间问题转化为平面问题.,2由方法二可知，有关柱、锥、台、球的组合体，经常是把正方体、长方体、球作为载体，去求某些量.解决这类问题，首先要把这些载体图形的形状、特点及性质掌握熟练，把问题进行转化，使运算和推理变得更简单，表达了转化思想是立体几何中一个非常重要的思想方法.,举一反三,4.有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放一个半径为r的铁球,并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求这时容器中水的深度.,解析：如图,作出轴截面,因轴截面是正三角形,根据切线性质知当球在容器内时,水的深度为3r,水面半径为 ,那么,容器内水的体积为,将球取出后，设容器内水的深度为h，那么水面圆的半径为 ，,从而容器内水的体积是 由V=V得,易错警示,【例】,在半径为15的球内有一个底面边长为 的内接正三棱锥,求此正三棱锥的体积.,错解,如图,显然OV=OA=OB=OC=15,ABC是边长为 的正三角形,它的中心为H,H也是顶点V和球心O在底面ABC的射影,HA=HB=HC=12,可以解得OH=9,三棱锥的高VH=9+15=24,即此正三棱锥的体积为 .,错解分析,漏掉了正三棱锥的顶点和球心在正三棱锥的底面的异侧情形.,正解 设此正三棱锥为V-ABC,球心为O,那么OV=OA=OB=OC=15.设ABC的中心为H,那么H也是顶点V和球心O在底面ABC的射影,HA=HB=HC=12,OH=9.,1如图1,当顶点V和球心O位于平面ABC的同侧时,高VH=9+15=24,2如图2,当顶点V和球心O位于平面ABC的异侧时,高VH=15-9=6,综上,此三棱锥的体积为 .,考点演练,10.假设一个正三棱柱的三视图如以下图所示,那么这个正三棱柱的外表积为.,解析:侧视图中矩形的长为原正三棱柱底面正三角形的高,可求得底面正三角形的边长为4,从而可求得外表积,答案:,24+83,11.正六棱柱底面是正六边形，侧棱垂直底面ABCDEF-的各棱长均为1，求:,(1)正六棱柱的外表积；,2一动点从A沿外表移动到点 时的最短路程.,解析：1可知,2将所给的正六棱柱如图2的外表按图1局部展开.,易得,故从A点沿正侧面和上底面到 的路程最短，为 .,12.三棱锥一条侧棱长是16 cm,和这条棱相对的棱长是18 cm,其余四条棱长都是17 cm,求棱锥的体积.,解析：如图，设AD=16 cm,那么BC=18 cm,取AD的中点E,连接CE、BE,AC=CD=17 cm,DE=8 cm,CEAD,并易知BE=CE,取BC的中点F,连接EF,EF为BC边上的高,CEAD,同理BEAD,DA平面BCE,三棱锥的体积可分为以BCE为底，以AE、DE为高的两个三棱锥的体积 之和,
展开阅读全文