5.3平面向量的数量积83016

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,5.3,平面向量的数量积,要点梳理,1.,平面向量的数量积,已知两个非零向量,a,和,b,，它们的夹角为,，则数量,叫做,a,与,b,的数量积（或内积），记作,.,规定：零向量与任一向量的数量积为,.,两个非零向量,a,与,b,垂直的充要条件是,，两非零向量,a,与,b,平行的充要条件是,.,|,a,|,|,b,|cos,a,b,=|,a,|,b,|,cos,0,a,b,=0,a,b,=,|,a,|,b,|,基础知识 自主学习,2.,平面向量数量积的几何意义,数量积,a,b,等于,a,的长度,|,a,|,与,b,在,a,方向上的投影,的乘积,.,3.,平面向量数量积的重要性质,（,1,）,e,a,=,a,e,=,；,（,2,）非零向量,a,，,b,，,a,b,；,（,3,）当,a,与,b,同向时，,a,b,=,；,当,a,与,b,反向时，,a,b,=,a,a,=,，,|,a,|=,;,（,4,）,cos,=,；,（,5,）,|,a,b,|,|,a,|,b,|.,|,b,|cos,|,a,|cos,a,b,=0,|,a,|,b,|,-|,a,|,b,|,a,2,4.,平面向量数量积满足的运算律,（,1,）,a,b,=,（交换律）；,（,2,）（,a,）,b,=,=,（,为实数）；,（,3,）（,a,+,b,）,c,=,.,b,a,a,b,a,b,a,c,+,b,c,5.,平面向量数量积有关性质的坐标表示,设向量,a,=,（,x,1,，,y,1,），,b,=,（,x,2,，,y,2,），则,a,b,=,，由此得到,（,1,）若,a,=,（,x,，,y,）,则,|,a,|,2,=,或,|,a,|,.,（,2,）设,A,（,x,1,，,y,1,），,B,（,x,2,，,y,2,），则,A,、,B,两点间的距离,|,AB,|=|,AB,|=,.,（,3,）设,a,=,（,x,1,，,y,1,），,b,=,（,x,2,，,y,2,），则,a,b,.,x,1,x,2,+,y,1,y,2,x,2,+,y,2,x,1,x,2,+,y,1,y,2,=0,基础自测,1.,已知,a,=(2,3),b,=(-4,7),则,a,在,b,上的投影为（）,A.B.C.D.,解析,设,a,和,b,的夹角为,，,|,a,|cos,=|,a,|,C,2.,若,|,a,|=2cos 15,，,|,b,|=4sin 15,，,a,，,b,的夹角为,30,，则,a,b,等于 （）,A,.,B,.C.D.,解析,B,a,b,=|,a,|,b,|,3.,已知,a,=(1,-3),b,=(4,6),，,c,=(2,3),，则,a,（,b,c,）等于（）,A.,（,26,，,-78,）,B.,（,-28,，,-42,）,C.-52D.-78,解析,a,(,b,c,)=(1,-3),(4,2+6,3)=(26,-78).,A,4.,向量,m,=(,x,-5,1),n,=(4,x,),m,n,，则,x,等于 （）,A.1B.2C.3D.4,解析,由,m,n,=0,，得,4(,x,-5)+,x,=0,，得,x,=4.,D,5.,（,2009,江西文，,13,）,已知向量,a,=(3,1),b,=(1,3),c,=(,k,2),若（,a,-,c,）,b,则,k,=,.,解析,a,-,c,=(3,1)-(,k,2)=(3-,k,-1),(,a,-,c,),b,，,b,=(1,3),(3-,k,),1-3=0,k,=0.,0,题型一 平面向量的数量积,【,例,1,】,已知向量,a,=(,cos,x,sin,x,),b,=(,cos,-sin ),，且,x,.,(1),求,a,b,及,|,a,+,b,|;,(2),若,f,(,x,)=,a,b,-|,a,+,b,|,，求,f,(,x,),的最大值和最小值,.,利用数量积的坐标运算及性质即可求解，在求,|,a,+,b,|,时注意,x,的取值范围,.,思维启迪,题型分类 深度剖析,解,0,|,a,+,b,|=2cos,x,.,(2),由,(1),可得,f,(,x,)=,cos,2,x,-2cos,x,=2cos,2,x,-2cos,x,-1,=2(cos,x,-),2,-.,x,，,cos,x,1,，,当,cos,x,=,时，,f,(,x,),取得最小值为,-,；,当,cos,x,=1,时，,f,(,x,),取得最大值为,-1.,探究提高,（,1,）与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型,.,解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识,.,（,2,）求平面向量数量积的步骤：首先求,a,与,b,的夹角为,0,，,180,，再分别求,|,a,|,，,|,b,|,，然后再求数量积即,a,b,=|,a,|,b,|cos,，若知道向量的坐标,a,=(,x,1,y,1,),b,=(,x,2,y,2,),则,a,b,=,x,1,x,2,+,y,1,y,2,.,知能迁移,1,（,1,）已知,O,是,ABC,内部一点，,=,0,，且,BAC,=30,，则,AOB,的面积为 （）,A.2B.1C.D.,解析,由,=,0,得,O,为,ABC,的重心,.,S,AOB,=,S,ABC,.,又,cos,30,=2,，,得,=4.,S,ABC,=sin 30,=1.,S,AOB,=.,D,（,2,）,（,2009,重庆理，,4,）,已知,|,a,|=1,|,b,|=6,a,(,b,-,a,)=2,，则向量,a,与,b,的夹角是（）,A.B.C.D.,解析,a,(,b,-,a,)=,a,b,-,a,2,=2,a,b,=2+,a,2,=3,cos,a,，,b,=,a,与,b,的夹角为,.,C,题型二 利用平面向量的数量积解决垂直问题,【,例,2,】,已知向量,a,=(,cos(-,),sin(-,),b,=,（,1,）求证：,a,b,；,（,2,）若存在不等于,0,的实数,k,和,t,，使,x,=,a,+(,t,2,+3),b,y,=-,k,a,+,t,b,，满足,x,y,，试求此时 的最小值,.,（,1,）,可通过求,a,b,=0,证明,a,b,.,（,2,）,由,x,y,得,x,y,=0,，即求出关于,k,t,的一个方程，从,而求出 的代数表达式，消去一个量,k,，得出关于,t,的函数，从而求出最小值,.,思维启迪,(1),证明,a,b,=,cos(-,),cos,(-,)+sin(-,),sin(-,)=sin,cos,-sin,cos,=0.,a,b,.,（,2,）,解,由,x,y,得,x,y,=0,即,a,+,（,t,2,+3,）,b,（,-,k,a,+,t,b,）,=0,，,-,k,a,2,+,（,t,3,+3,t,）,b,2,+,t,-,k,（,t,2,+3,）,a,b,=0,，,-,k,|,a,|,2,+,（,t,3,+3,t,）,|,b,|,2,=0.,又,|,a,|,2,=1,，,|,b,|,2,=1,，,-,k,+,t,3,+3,t,=0,，,k,=,t,3,+3,t,.,故当,t,=,时，有最小值,.,探究提高,（,1,）两个非零向量互相垂直的充要条件是它们的数量积为零,.,因此，可以将证两向量的垂直问题，转化为证明两个向量的数量积为零,.,（,2,）向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算，由于有关长度、角度和垂直的问题可以利用向量的数量积来解决，因此，我们可以利用向量的坐标研究有关长度、角度和垂直问题,.,知能迁移,2,已知平面向量,a,=,（,-,）,b,=(-,-1).,(1),证明：,a,b,;,(2),若存在不同时为零的实数,k,、,t,使,x,=,a,+(,t,2,-,2),b,y,=-,k,a,+,t,2,b,且,x,y,，试把,k,表示为,t,的函数,.,(1),证明,a,b,=,(,-1),a,b,.,(2),解,x,y,x,y,=0,即,a,+(,t,2,-2),b,（,-,k,a,+,t,2,b,）,=0.,展开得,-,k,a,2,+,t,2,-,k,(,t,2,-2),a,b,+,t,2,(,t,2,-2),b,2,=0,a,b,=0,a,2,=|,a,|,2,=1,b,2,=|,b,|,2,=4,-,k,+4,t,2,（,t,2,-2,）,=0,k,=,f,(,t,)=4,t,2,(,t,2,-2).,题型三 向量的夹角及向量模的问题,【,例,3,】,（,12,分）已知,|,a,|=1,，,a,b,=,，（,a,-,b,）,（,a,+,b,）,=,，,求：（,1,）,a,与,b,的夹角；,（,2,）,a,-,b,与,a,+,b,的夹角的余弦值,.,解题示范,解,（,1,）（,a,-,b,）,（,a,+,b,）,=,，,|,a,|,2,-|,b,|,2,=,，,又,|,a,|=1,，,|,b,|=3,分,设,a,与,b,的夹角为,，,则,cos,=,0,180,=45,.6,分,5,分,（,2,）（,a,-,b,）,2,=,a,2,-2,a,b,+,b,2,|,a,-,b,|=8,分,（,a,+,b,）,2,=,a,2,+2,a,b,+,b,2,=1+2,|,a,+,b,|=,设,a,-,b,与,a,+,b,的夹角为 ，,10,分,则,cos,=12,分,探究提高,（,1,）求向量的夹角利用公式,cos,a,，,b,=,.,需分别求向量的数量积和向量的模,.,（,2,）利用数量积求向量的模，可考虑以下方法,.,|,a,|,2,=,a,2,=,a,a,;|,a,b,|,2,=,a,2,2,a,b,+,b,2,;,若,a,=(,x,y,),，则,|,a,|=.,知能迁移,3,已知,|,a,|=4,|,b,|=8,a,与,b,的夹角是,120,.,(1),计算：,|,a,+,b,|;|4,a,-2,b,|;,(2),当,k,为何值时，,(,a,+2,b,)(,k,a,-,b,),？,解,由已知，,a,b,=4,8,(-)=-16.,（,1,）,|,a,+,b,|,2,=,a,2,+2,a,b,+,b,2,=16+2,(-16)+64=48,|,a,+,b,|=4 .,|4,a,-2,b,|,2,=16,a,2,-16,a,b,+4,b,2,=16,16-16,(-16)+4,64=3,16,2,|4,a,-2,b,|=16 .,（,2,）若,(,a,+2,b,)(,k,a,-,b,),则,(,a,+2,b,),(,k,a,-,b,)=0,k,a,2,+,（,2,k,-1,）,a,b,-2,b,2,=0.,16,k,-16,（,2,k,-1,）,-2,64=0,，,k,=-7.,方法与技巧,1.,数量积,a,b,中间的符号,“,”,不能省略，也不能用,“,”,来替代,.,2.,要熟练类似（,a,+,b,),(,s,a,+,t,b,)=,s,a,2,+(,t,+,s,),a,b,+,t,b,2,的运算律（、,、,s,、,t,R,）,.,3.,求向量模的常用方法：利用公式,|,a,|,2,=,a,2,将模的运,算转化为向量的数量积的运算,.,4.,一般地，（,a,b,）,c,(,b,c,),a,即乘法的结合律不成,立,.,因,a,b,是一个数量，所以,(,a,b,),c,表示一个与,c,共线的向量，同理右边（,b,c,）,a,表示一个与,a,共线,的向量,而,a,与,c,不一定共线,故一般情况下,(,a,b,),c,(,b,c,),a,.,思想方法 感悟总结,失误与防范,1.,零向量,:(1),0,与实数,0,的区别，不可写错：,0,a,=,0,0,a,+(-,a,)=,0,0,a,0,=0,0,;(2),0,的方向是任意的，并非没有方向，,0,与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系,.,2.,a,b,=0,不能推出,a,=,0,