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*,*,第一章 集合与常用逻辑用语,1.1,集合与集合的运算,高考数学,考点一集合及其关系,1.元素与集合的关系,2.集合中元素的特征,知识清单,确定性,一个集合中的元素必须是确定的,即一个集合一旦确定,某一个元素要么是该集合中的元素,要么不是,二者必居其一,这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合,互异性,集合中的元素必须是互异的.对于一个给定的集合,它的任何两个元素都是不同的.这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确,或用来求集合中的未知元素,无序性,集合与其中元素的排列顺序无关,如,a,b,c,与,b,c,a,是相同的集合.这个特性通常被用来判断两个集合的关系,3.集合的分类:无限集、有限集.特别地,我们把不含有任何元素的,集合叫做空集,记作,.,4.常用数集及其表示符号,名称,非负整数集,(自然数集),正整数集,整数集,有理数集,实数集,符号,N,N,*,或N,+,Z,Q,R,5.集合的表示方法:列举法、描述法、Venn图法.,6.集合间的关系,名称,自然语言描述,符号语言表示,Venn图表示,子集,如果集合,A,中所有元素都是集合,B,中的元素,则称集合,A,为集合,B,的,子集,A,B,(或,B,A,),真子集,如果集合,A,B,但存在元素,a,B,且,a,A,则称集合,A,是集合,B,的真,子集,A,B,(或,B,A,),集合相等,集合,A,与集合,B,中元素相同,那么,就说集合,A,与集合,B,相等,A,=,B,考点二集合的运算,1.集合间的运算,名称,自然语言描述,符号语言表示,Venn图表示,并集,对于两个给定集合,A,、,B,由所有,属于集合,A,或属于集合,B,的元素,组成的集合,A,B,=,x,|,x,A,或,x,B,交集,对于两个给定集合,A,、,B,由所有,属于集合,A,且属于集合,B,的元素,组成的集合,A,B,=,x,|,x,A,且,x,B,补集,对于一个集合,A,由全集,U,中所有,属于集合,U,但不属于集合,A,的元,素组成的集合称为集合,A,在全集,U,中的补集,记作,U,A,U,A,=,x,|,x,U,且,x,A,交集,A,B,A,A,B,B,A,A,=,A,A,=,A,B,=,B,A,并集,A,B,A,A,B,B,A,A,=,A,A,=,A,A,B,=,B,A,补集,U,(,U,A,)=,A,U,U,=,U,=,U,(,U,A,),A,=,(,U,A,),A,=,U,2.集合间的逻辑运算,3.两个常用结论,AB=AAB;AB=BAB.,4.设有限集合A,card(A)=n(nN*),那么,(1)A的子集个数是2n;,(2)A的真子集个数是2n-1;,(3)A的非空子集个数是2n-1;,(4)A的非空真子集个数是2n-2.,集合的概念和基本关系的解题策略,1.解答集合间的关系问题:先正确理解两个集合的含义,认清集合元素的,属性,再依据元素的不同属性采用不同的方法进行解答:,若给定的集合是不等式的解集,则用数轴求解;,若给定的集合是点集,则用数形结合法求解;,若给定的集合是抽象集合,则用Venn图求解.,2.当题目中有条件,B,A,时,不要忽略,B,=,的情况.,例1(2017浙江名校新高考研究联盟测试一,1)已知集合,A,=,x,|-,a,x,2,a,a,0,集合,B,=,y,|,y,=,x,3,x,A,.若,B,A,则,a,的取值范围是,(),A.,B.,C.1,+,)D.(0,1,方法技巧,方法,1,B,解题导引,由函数的单调性得集合,B,由集合间的关系得结论,解析,y,=,x,3,在区间-,a,2,a,上单调递增,y,-,a,3,8,a,3,由,B,A,得,解得0,a,又,a,0,所以,a,的取值范围是,故选B.,例2假设集合A=x|x2-2x-3=0,B=x|x2-2mx-3m=0,且AB=A,那么实数m的取值范围是.,-3,m,0或,m,=1,解题导引,解析依题意得A=-1,3,且BA.,当B=时,=4m2+12m0-3m0,符合题意.,当B时,假设-1B,可得m=1,此时B=-1,3,符合题意;,假设3B,可得m=1,此时B=-1,3,符合题意.,综合可得-3m0或m=1.,集合的根本运算的解题策略,1.数轴和韦恩(Venn)图是进行交、并、补集运算的有力工具,数形结合是解答集合问题的常用方法.因此,解题时要先把集合中各种形式的元素化简,使之明确化.尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决.,2.在解含参变量的有关集合问题时,有时需对参变量进行分类讨论.同时在解题过程中,最易忽略集合元素的互异性,从而导致解题的错误.因此求出参变量后,一定要代入检验.,3.分类讨论要注意分类标准的寻求和层次的划分,做到分类标准合理、自然,层次划清楚确、清晰,对讨论的问题的分类做到不重不漏.,方法,2,例3(2021浙江镇海中学模拟卷(二),9)全集U=R,设A=x|lg(x-1)1,B=x|x2-5x-60,那么AB=;(UA)B=.,-1,11),-1,1,解题导引,解对数函数得,A,解一元二次不等式得,B,由交集、并集、补集的运算得结论,解析由题可知,A,=(1,11),B,=-1,6,所以,A,B,=-1,11),U,A,=(-,1,1,1,+,),因此(,U,A,),B,=-1,1.,与集合有关的新概念问题的解题策略,与集合有关的新概念问题属于信息迁移类问题,它是化归思想的具体运用,这类试题的特点是:通过给出新的数学概念或新的运算方法,在新的情境下完成某种推理证明,这是集合命题的一个新方向.常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法那么等类型.,解此类题的一般思路:,1.理解问题中的新概念、新公式、新运算、新法那么的含义.,2.利用学过的数学知识进行逻辑推理.,3.对选项进行筛选、验证、定论.,例4(2021浙江名校协作体测试,8)在n元数集S=a1,a2,an中,设x(S)=,假设S的非空子集A满足x(A)=x(S),那么称A是集合S的一个,方法,3,“平均子集,并记数集S的k元“平均子集的个数为fS(k).集合S=1,2,3,4,5,6,7,8,9,T=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,那么以下说法错误的选项是(),A.fS(4)=fS(5),B.fS(4)=fT(5),C.fS(1)+fS(3)=fT(5),D.fS(2)+fS(3)=fT(4),C,解析由题意,易知fT(k)=fS(k),k=1,2,9.再由对称性知fT(k)=fT(9-k),k=1,2,9,故A,B正确.现在仅考虑集合T,利用列举法,当k=1时,“平均子集A:0,故fT(1)=1;当k=2时,“平均子集A可取-a,a,其中a=1,2,3,4,故fT(2)=4;当k=3时,“平均子集A可取-4,0,4,-4,1,3,-3,-1,4,-3,0,3,-3,1,2,-2,-1,3,-2,0,2,-1,0,1,故fT(3)=8;当k=4时,“平均子集A可取-4,-3,3,4,-4,-2,2,4,-4,-1,1,4,-4,-1,2,3,-4,0,1,3,-3,-2,1,4,-3,-2,2,3,-3,-1,1,3,-3,-1,0,4,-3,0,1,2,-2,-1,0,3,-2,-1,1,2,故fT(4)=12.利用对称性知,fT(5)=12.所以D正确、C错误,应选C.,
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