《函数的奇偶性》课件

1.3.2 奇偶性,函数奇偶性的概念,1.3.2 奇偶性,1.已知函数f(x)=x,2,求f(-2),f(2),f(-1),f(1),及f(-x),并画出它的图象。,解:,f(-2)=(-2),2,=4 f(2)=4,f(-1)=(-1),2,=1 f(1)=1,f(-x)=(-x),2,=x,2,2.已知f(x)=x,3,画出它的图象,并求出f(-2),f(2),f(-1),f(1)及f(-x),解:,f(-2)=(-2),3,=-8 f(2)=8,f(-1)=(-1),3,=-1 f(1)=1,f(-x)=(-x),3,=-x,3,思考:,你发现了什么规律?,f(-2)=f(2),f(-1)=f(1),f(-x)=f(x),f(-2)=-f(2),f(-1)=-f(1),f(-x)=-f(x),-x,x,f(-x),f(x),-x,f(-x),x,f(x),x,y,o,x,y,o,(x,y),(-x,y),(-x,-y),(x,y),1.已知函数f(x)=x2,求f(-2),f(2),f(-,1.函数奇偶性的概念,:,偶函数定义:,如果对于f(x)定义域内的,任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫,偶函数.,奇函数定义:,如果对于f(x)定义域内的,任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫,奇函数,.,1.函数奇偶性的概念:偶函数定义:奇函数定义:,对奇函数、偶函数定义的说明:,(1).定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。,a,b,-b,-a,x,o,（2）.奇、偶函数定义的逆命题也成立，即：,若f(x)为奇函数,则f(-x)=f(x)成立。,若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)成立。,（3）如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x),具有奇偶性。,对奇函数、偶函数定义的说明:(1).定义域关于原点对称是,函数的奇偶性课件,0,增,M,增,0 增 M 增,思考：如何判断一个函数的奇偶性呢？,（1）图像法,（2）定义法,思考：如何判断一个函数的奇偶性呢？（1）图像法,例1.根据下列函数图象,判断函数奇偶性.,y,x,y,x,y,x,y,x,y,例1.根据下列函数图象,判断函数奇偶性.yxyxyxyxy,x,o,y,(a,f(a),(-a,f(-a),-a,a,奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数.,xoy(a,f(a)(-a,f(-a)-aa奇函数的图象,x,o,y,-a,a,(a,f(a),(-a,f(-a),偶函数的图象关于,y,轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于,y,轴对称，那么这个函数是偶函数.,xoy-aa(a,f(a)(-a,f(-a)偶函数的图象,例2.判断下列函数的奇偶性,(1)f(x)=x,3,+2x (2)f(x)=2x,4,+3x,2,解:,又f(-x)=(-x),3,+2(-x),=-x,3,-2x,=-(x,3,+2x),即 f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数,又,f(-x)=2(-x),4,+3(-x),2,=2x,4,+3x,2,f(x)为偶函数,定义域为R,关于原点对称,解:,定义域为R，关于原点对称,即 f(-x)=f(x),例2.判断下列函数的奇偶性(1)f(x)=x3+2,练习1.说出下列函数的奇偶性:,偶函数,奇函数,奇函数,奇函数,f(x)=x,4,_ f(x)=x,-1,_,f(x)=x,_,奇函数,f(x)=x,-2,_,偶函数,f(x)=x,5,_,f(x)=x,-3,_,说明：对于形如 f(x)=x,n,的函数，,若n为偶数，则它为偶函数。,若n为奇数，则它为奇函数。,练习1.说出下列函数的奇偶性:偶函数奇函数奇函数奇函数f,先求定义域，看是否关于原点对称;,再判断f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立。,（3）根据函数奇偶性的定义作出结论。,说明:,用定义判断函数奇偶性的步骤:,先求定义域，看是否关于原点对称;说明:,练习2.判断下列函数的奇偶性,(2)f(x)=-x,2,+1,f(x)为奇函数,又,f(-x)=-(-x),2,+1,=-x,2,+1,f(x)为偶函数,(1)f(x)=x-,1,x,解：定义域为x|x0，关于原点对称,解：定义域为R，关于原点对称,又f(-x)=(-x)-,1,-x,=-x+,1,x,即 f(-x)=-f(x),即 f(-x)=f(x),练习2.判断下列函数的奇偶性(2)f(x)=-x2,(3).f(x)=5 (4)f(x)=0,解,:(3)f(x)的定义域为R，关于原点对称。,又 f(-x)=f(x)=5,f(x)为偶函数,解,:(4)定义域为R，关于原点对称。,又 f(-x)=f(x)=0 又 f(-x)=-f(x)=0,f(x)为既奇又偶函数,y,o,x,5,o,y,x,说明:函数f(x)=0 (定义域关于原点对称），为既奇又偶函数。,(3).f(x)=5,(5).f(x)=x+1 (6).f(x)=x,2,x-1,3,解:(5),f(-x)=-x+1,-f(x)=-x-1,f(-x)f(x),且f(-x)f(x),f(x)为非奇非偶函数,解:（6）定义域不关于原点,对 称,f(x)为非奇非偶函数,y,o,x,o,x,-1,3,y,(5).f(x)=x+1,奇函数,说明：,根据奇偶性,偶函数,函数可划分为四类:既奇又偶函数,非奇非偶函数,用定义法判断函数奇偶性解题步骤:,(1)先确定函数定义域,并判断,定义域是否关于原点对称;,(2)求f(-x)，找 f(x)与f(-x)的关系;,若f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数;,若f(-x)=-f(x),则f(x)是奇函数.,(3)作出结论.,f(x)是偶函数或奇函数或非奇非偶函数或即是奇函数又是偶函数。,用定义法判断函数奇偶性解题步骤:(1)先确定函数定义域,并判,2.奇偶函数图象的性质:,奇函数的图象关于原点对称.,反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数为奇函数.,偶函数的图象关于y轴对称.,反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数为偶函数.,注：奇、偶函数图象的性质可用于：,.简化函数图象的画法。,.判断函数的奇偶性,。,2.奇偶函数图象的性质:奇函数的图象关于原点对称.,o,y,x,例3 已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如图，画出y=f(x)在 y轴左边的图象。,oyx例3 已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图,课堂小结,1,奇偶性定义,:对于函数f(x),在它的定义域内,，,若有f(-x)=-f(x),则f(x)叫做奇函数；,若有f(-x)=f(x),则f(x)叫做偶函数。,2,图象性质,:,奇函数的图象关于原点对称;,偶函数的图象关于y轴对称.,3,判断奇偶性方法,：,图象法，定义法。,4,定义域关于原点对称,是函数具有奇偶性的前提。,5.具备奇偶性的函数，若是奇函数则在定义域关于原点对称的区间上具有相同的单调性；若是偶函数则在定义域对称的区间上具有相反的单调性。,课堂小结1奇偶性定义:对于函数f(x),在它的定义域内，,作业：课本 P39 A 6 B 3,作业：课本 P39 A 6 B,