1 误差分析与数据处理

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第一章 误差分析与数据处理,1.1,测量及其分类,直接测量,间接测量,1,）按测量的方式分：,2,）按测量条件分,等精度测量,不等精度测量,3,）按测量过程的状态分,静态测量,动态测量,1,直接测量：,凡是使用仪器或量具就可直接得到被测量值的测量；,例如：用直尺测量长度；,以表计时间；,天平称质量；,安培表测电流。,间接测量：,从一个或几个直接测量结果按一定的函数关系计算出来的过程，称为,间接测量,。,h,d,M,1,）,直接测量和间接测量,2,等精度测量：,2,）等精度测量和非等精度测量,在,相同的条件,下，对某一物理量 进行多次测量得到的一组测量值 称作等精度测量。,相同的条件：,指同一时间地点、同一人、相同的测量仪器和,测量环境等条件。,非等精度测量,：,在不同测量的条件下，对某一物理量进行多次测量，所得的测量值的精确程度不能认为是相同的，称作非等精度测量。,3,1.2,真值、代表值与误差,1.2.1,真值,指在某一时刻和某一位置的某个物理量客观存在的真实值。严格地讲，真值是无法测得的，只能测得真值的近似值。,实际应用中真值是指,测量次数无限多时,的平均值作为真值。,理论真值：,理论上证明过的某些已知的固定量值，如三角形之和为,180,。,约定真值：,国际计量组织通过决议规定的某些计量单位的量值，如规定铂铱合金的国际千克原器为,1kg,的质量单位。,光在真空中,1s,时间内传播距离的,1/299792485,为,1,米。,相对真值：,高一级标准器（核对仪表）与低一级标准器或一般仪器相比误差小得多，认为前者是后者的相对真值。,4,1.2.2,代表值,简单的说，就是通过测量和数据处理，认为能够代表真值的数据。,中位值,将所测量的数值按其大小顺序排列，位于正中间的数值叫做中位值。,平均值,设,x1,，,x2,xn,代表各次观测值，,n,代表观测次数，则,算数平均值：,平方平均值（均方根平均值）,几何平均值,冶金试验中，常用,算数平均值,作为代表值,5,按误差的数值表达式分（,2,种）：,绝对误差,测量值与真值之差称为绝对误差。,相对误差,绝对误差与真值之比值为相对误差。,按误差的性质和产生的原因分（,4,种）：,系统误差,随机误差,1.2.3,误差及误差分类,任何测量结果都有误差,！,过失误差,缓变误差,6,定义：,在一定条件下，对同一物理量进行多次测量时，其误差按一定的规律变化，测量结果都大于真值或都小于真值。,并且为其它的物理量（如温度等）的函数，这种带有,系统性和方向性,的误差称为系统误差。,产生原因,：,仪器，理论推导，实验方法，操作，环境等。,（,1,）,系统误差,天平不等臂,仪器,7,系统误差的分类,1,）按系统误差产生的原因分,设备误差：,由于测量仪器、工具的不准确或安装不正确造成的，如仪器的零位不准，空行程、不水平、不垂直、导线的影响等。,环境误差：,由于测量环境条件变化的影响，如温度、压力、外电磁场的影响。,人员误差：,由测量人员自身造成的，如读数的偏大、偏小、测量的超前或滞后等。,方法误差：,由于测量方法不完善，计算公式的近似简化引起的。,2,）按系统误差的性质分,固定误差,：测量过程中符号和数值大小都不变，如仪器的零点误差。,累进误差：,在测量过程中，随某个因素（如时间、长度）而递增或递减，就像用不准确的尺子测量大距离。,周期性误差：,误差的数值与符号呈周期性的变化，如辊轴偏心等。,变化规律复杂的误差：,需要用公式或曲线表示其变化规律的误差，如光线示波器振动子的圆弧误差。,8,1),将观测值依次排列，如偏差的大小有规则地向一个方向变化，即前面为负号，后面为正号，且符号为（一一一一一十十）或相反（十十一一一一一），则说明该组观测值含有累进的系统误差。如中间有微小波动，则说明有随机误差的影响。,发现系统误差的简单方法,2),将观测值依次排列，如偏差符号作有规律交替变化，则测量中含有周期性误差。如中间有微小波动，则说明有随机误差的影响。,3),在某一测量条件时，测量偏差基本上保持相同符号。当变为另一测量条件时偏差均变号，则表明测量中含有随测量条件改变而变化的固定误差。,4),按测量次序，若观测值前半部分偏差之和与后半部分偏差之和的差值明显不为零，则该测量中含有累进误差。,5),若测量条件改变前偏差之和与改变后偏差之和的差值显然不为零，则该测量中含有随条件而变化的固定误差。,通过观察偏差发现系统误差,9,定义,:,在同一条件下，对同一量进行多次测量时，如果没有系统误差，测量结果仍会出现一些无规律的起伏，这种偶然的，不确定的偏离叫做随机误差。,凡是由未被发现和无法控制的因素产生的误差均为随机误差。其特点是数值大小和方向均带有,随机性和不定性,。,产生原因：,随机误差是由于人的感官灵敏程度和仪器精密程度有限以及实验中难以确定的因素而引起的。,（,2,）随机误差（偶然误差）,温度忽高忽低,气流飘忽不定,电压漂移起伏,10,正态性,：,绝对值小的误差出现的概率高，绝对值大的误差出现的概率低，绝对值很大的误差出现的概率近于零,对称性：,绝对值相等的正负误差出现的概率相等,有界性：,在一定的测量条件下，随机误差的绝对值有一定的界限，超过此界限的误差概率等于零。,抵偿性：,正号的随机误差之和与负号的随机误差之和的绝对值相等，互相抵消。,式中的,是一个与实验条件有关的常数，称之为正态分布的标准误差。,是曲线两个拐点的横坐标位置。,随机误差的特征,f,（,）,11,（,3,）过失误差,是指数值上随时间缓慢变化的误差,一般它是由零部件的老化、机械零件内应力变化引起的。由于它有不平稳随机过程的特点，误差值在单调缓慢变化，因此不能象对系统误差那样引进一次修正量即能校正，又不能象对一般随机误差那样按平稳随机过程的特点来处理，因而常需不断进行校正，测量准确度与对仪器仪表的校正周期有关。,（,4,）缓变误差：,它是一种显然与事实不符的误差，主要是由于操作人员的粗心大意、操作错误等引起的。如测量、记录或计算的错误等。此类误差无规律可循，含有过失误差的测量数据只能舍弃不用，无法修正。只要加强操作人员的责任心，过失误差是可以避免的。,一般要进行舍弃。,12,1.2.4,精密度与准确度,准确度：,指测量结果的正确性，准确度高表示系统误差小,精密度：,是指在相同的条件下，对同一被测量进行多次重复测量时，测量值的重复程度。说明各测量值之间的重复性或分散程度，它是测量中随机误差大小的反映。精密度表示测量结果的重演程度，精密度高表示随机误差小,精确度：,是指测量结果与其真值的接近程度。它反映了测量的总误差，是精密度和准确度的综合反映。,（,a,）精密度好,（,b),准确度好,（,c,）两者都好,13,1.2.5,误差的表示与计算,（,1,）绝对误差,标准绝对误差,其中,当测量次数无限大时：,平均绝对误差,：,对同一物理量进行多次测量时，各次测量值及其绝对误差不会相同，我们将各次测量的绝对误差取,绝对值,后再求平均值，并称其为平均绝对误差。,=,（,x1-xo+x2-x0+xn-x0,）,/n,为平均绝对误差；,x,1,、,x,2,、,x,n,为各次测量的绝对误差,14,测量次数有限多次时：,设一组观测值的标准误差为 ，则任一观测值的误差介于,的概率为,68%,的概率为,95%,的概率为,99.7%,工程技术测量中常用 表示最大可能误差,。,超过此范围的误差认为是过失误差。,方差,2,标准绝对误差的平方即为,方差,2,，在数据运算过程中常被使用,15,算术平均值的标准误差,在同一条件下对同一物理量作多次重复测量，各次所求出的算术平均值并不相同，表明算术平均值相对于客观真值也存在误差。所以计算算术平均值的误差，对于表征测量结果的精密度具有重要意义。算术平均值的标准误差的计算公式：,上式说明，,测量值的标准误差,是算术平均值的标准误差 倍。当测量次数,n,越大，算术平均值越接近真值，测得精度越高。,标准绝对误差,16,是指这样一种误差，在一组测定中，误差绝对值大于,P,的测定值与误差绝对值小于,P,的测定值各占总测定值的一半。,测量次数较多时：,P=0.675,或然误差,P,（,2,）相对误差（,相对,、,相对,）,实验测得的数值与真实数值之间的差数称为,“绝对误差”,，而“绝对误差”与“真实数据”的比值称为,“相对误差”,。,思考题：,1-15,，,1-16,17,1.3,可疑观测值的舍弃,工程技术测量中常用 表示最大可能误差,。,超过此范围的误差认为是过失误差。,1.3.1 3,准则（赖特准则）,根据随机误差的正态分布，误差在士,3,间出现的概率为,99.7%,，误差在此范围以外出现的概率只有,0.3%,，即测量,300,次才能遇上一次。对于通常只测量一、二十次的试验，误差超出士,3,范围的已不属于随机误差，而是过失误差。因此规定：,当某一测量值的误差超过士,3,时，则判断为过失误差，应予舍弃。,然后重新计算,值，并重新判断其它剩下的测量值。,18,某数据与,包括这个数据,在内的平均值的偏差，大于这组数据或然误差,P,的,k,倍时，该数据应该舍弃。,1.3.1,乔文涅法则,19,20,课后作业：,1-17,练习题：,21,1.4.1,平均误差的传递,1.4,间接误差的传递,设有函数,N=f(x1,x2,x3,xn,),式中，,N,由,x1,x2,x3,xn,各直接测量值来确定,如果测定,x1,x2,x3,xn,时的平均误差分别为,x1,xn,，且足够小。则,将上面函数全微分并取其绝对值,，以消除正负误差对消的的影响，则可得到计算,N,的,平均误差,公式：,两边取对数再求微分，,然后将,dx1,，,dx2,dxn,等分别换成,x1,xn,，则可以得到,相对平均误差,的表达式：,22,1.4.2,标准误差的传递,设有函数,N=f(x1,x2,x3,xn,),式中，,N,由,x1,x2,x3,xn,各直接测量值来确定,则间接测量,N,的,标准误差,与各直接测量的标准误差的关系为：,相对误差,传递公式：,23,24,1.5.1,有效数字的基本概念,0.5,1.0,1.5,1.13 m,准确数,欠准确数,定义,：,准确数字加欠准确数字（一般,1,位）,1.5,数据处理与测量结果表示,25,1,）关于“,0”,.,当“,0”,在数字中间或末尾时有效,数学上：,物理上：,.,小数点前面的“,0”,和紧接小数点后面的“,0”,不算作有效数字。,例如：,近似数,32.04,有四个有效数字,3,、,2,、,0,、,4,。近似数,0.0470,有三个有效数字,4,、,7,、,0,。,改变单位，不改变有效数字的位数。,如：,24.01mL 24.01,10,3,L,26,数据过大或过小时，可以用科学记数法表达。,2).,数值的科学记数法,在使用近似值时，一般都指明要求精确到某个值或保留多少位有效数字,.,为了能简便地表示出一个近似数的精确度，我们常常把一个正数写成,a10k,的形式,.,其中,1a10,，,kZ,，,a,要写出全部有效数字,.,例如,当看到：,x=5.3410,-2,，,y=5.3410,5,，,z=5.34010,5,，,就知道,x,，,y,，,z,准确值的范围是：,0.05335x0.05345,，,533500y534500,，,533950z534050.,这样记数方法叫做科学记数法,.,27,某电阻值为,20000,（欧姆），,保留三位有效数字时写成,2.00,10,4,又如数据为,0.0000325m,，,使用科学记数法写成,3.25,10,-5,m,再例如：,28,1.,加减运算,结果的位数取决于,绝对误差最大,的数据的位数,例：,0.0121,绝对误差：,0.00005,25.64,0.005(,绝对误差最大）,1.057 0.0005,26.7091,1.5.2,有效数字运算规则,29,2.,乘除法：,与参与运算的有效数字最少的那个数位数