七弯曲变形

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,梁的挠度，横截面的转角。,度量梁变形的参数,-,二、挠度：,横截面形心沿垂直于,轴线方向的位移,。,一、挠曲线：梁变形后的轴线。,性质：,连续,、光滑、弹性、,极其平坦的平面曲线。,三、转角：,横截面绕中性轴转过,的角度。,用“,”表示。,q,用“,y,”,表示,。,q,7-1,梁变形的基本概念 挠度和转角,y,=,y,（,x,）,挠曲线方程。,挠度向下为正；向上为负。,=,(,x,),转角方程。,由变形前的横截面转到变形后，,顺时针为正；逆时针为负。,四、挠度和转角的关系,挠度：,横截面形心沿垂直于,轴线方向的位移,。,转角：,横截面绕中性轴转过,的角度。,用“,”表示。,用“,y,”,表示,。,q,q,挠曲线为一条平坦的曲线,一、曲率与弯矩的关系：,EI,M,=,r,1,二、曲率与挠曲线的关系（数学表达式,),（,2,）,三、挠曲线与弯矩的关系,：,联立（,1,）、（,2,）两式得,（,1,）,7-2,挠曲线近似微分方程,M0,0,),(,x,y,挠曲线近似微分方程的近似性,忽略了,“,F,s,”,以及 对变形的影响,使用条件：,弹性范围内工作的细长梁。,M,x,y,结论：挠曲线近似微分方程,x,y,x,y,7-3,积分法计算梁的变形,步骤,：（,EI,为常量）,1,、根据荷载分段列出弯矩方程,M,（,x,）。,2,、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分,3,、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。,右,左,C,C,q,q,=,连续条件：,右,左,C,C,y,y,=,边界条件：,F,（,1,）、固定支座处：挠度等于零、转角等于零。,（,2,）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。,（,3,）、在弯矩方程分段处：,一般情况下左、右的两个截面挠度相等、转角相等。,4,、确定挠曲线方程和转角方程。,5,、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大值。,例：,求图示悬臂梁自由端的挠度及转角,(,EI,=,常数）,。,解：,a),建立坐标系并写出弯矩方程,b),写出,微分方程并积分,c),应用位移边界条件,求积分常数,F,x,d),确定挠曲线、转角方程,e),自由端的,挠度及转角,x,=0,y,=0;,=0,y,L,F,C,解：,a),建立坐标系并写出弯矩方程,b),写出,微分方程并积分,例：,求,图示梁的跨中的挠度和转角,（,EI=,常数,）,左侧段（,0 x,1,a,）：,右侧段（,ax,2,L,）：,e),跨中点,挠度及两端端截面的转角,d),确定挠曲线和转角方程,c),应用位移边界条件和连续条件,求积分常数,x,=0,y,=0;,x,=,L,y,=0.,x,1,=,x,2,=a,，,y,1,=,y,2,；,y,1,=,y,2,两端支座处的转角,讨论：,1,、此梁的最大挠度和最大转角。,左,侧,段：,右,侧,段：,最大挠度一定在左侧段,F,C,当,a,b,时,当,a,b,时,最大挠度发生在,AC,段,2,、,a=b,时,此梁的最大挠度和最大转角。,F,C,q,L,A,B,x,C,解：,a),建立坐标系并写出弯矩方程,b),写出,微分方程并积分,c),应用位移边界条件,求积分常数,d),确定挠曲线和转角方程,e),最大挠度及最大转角,ql/2,ql/2,x,=0,y,=0;,x,=L,y,=0.,例：,求分布载荷简支,的最大挠度 和最大转角,(EI=,常数,）,梁上有分布载荷，集中力与集中力偶。,弯矩：,弯矩的叠加原理,-,梁在几个载荷共同作用下的弯矩值，等于各载荷单独作用下的弯矩的代数和。,7-4,叠加法,计算梁的变形,1,、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查；,2,、叠加法适用于求梁,个别,截面的挠度或转角值。,一、,前提条件：,弹性、小变形。,二、,叠加原理：,各荷载同时作用下，梁任一截面的挠度或转角，等于各荷载分别单独作用下同一梁同一截面挠度或转角的代数和。,三、,叠加法的特征：,叠加法计算梁的变形,a,a,F,=,+,例,：,叠加法求,A,截面的转角和,C,截面 的挠度,.,解,、,a),载荷分解如图,b),由梁的简单载荷变形表，,查简单载荷引起的变形。,a,a,q,F,A,C,A,a,a,q,c),叠加,L/2,L/2,q,A,C,A,=,+,例,：求图示梁,C,截面的挠度。,解,：,1,、,载荷分解如图,2,、查梁的简单载荷变形表,3,、,叠加,L/2,A,C,A,q/2,L/2,(,a),L/2,L/2,A,C,A,q/2,q/2,(b),=,+,A,B,L,a,C,q,qa,A,B,L,C,M=qa/2,（,b,）,例,：求图示梁,B,截面的挠度,（,EI,已知）。,解,：,1),结构,分解如图,2),查梁的简单载荷变形表,3),叠加,B,C,q,（,a,）,一、梁的刚度条件,其中,称为许用转角；,/L,称为许用挠跨比。,、,校核刚度：,、,设计截面尺寸；,（对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度常处于从属地位。特殊构件例外）,二、刚度计算,、,确定外载荷。,7,5,梁的刚度计算,由梁在简单荷载作用下的变形表和前面的变形计算可看：,梁的挠度和转角除了与,梁的支座和荷载,有关外还取决于,下面三个因素,：,材料,梁的位移与材料的弹性模量,E,成反比,；,截面,梁的位移与截面的惯性矩,I,成反比,；,跨长,梁的位移与跨长,L,的,n,次幂成正比,。,（转角为,L,的,2,次幂，挠度为,L,的,3,次幂）,1,、增大梁的抗弯刚度（,EI,）,2,、调整跨长和改变结构,方法,同提高梁的强度的措施相同,三、提高梁的刚度的措施,3,、预加反弯度（预变形与受力时梁的变形方向相反，目的起到一定的抵消作用）,