矩阵的特征值和特征向量课件

单击此处编辑母版标题样式,*,*,返回,上页,下页,目录,第三章 矩阵的特征值与特征向量,1,方阵的特征值与特征向量,2,矩阵的对角化,11/17/2024,1,第三章 矩阵的特征值与特征向量1 方阵的特征值与,第1节,方阵的特征值与特征向量,11/17/2024,2,第1节方阵的特征值与特征向量10/10/20232,定义3.1,3.1.1,特征值与特征向量的基本概念,11/17/2024,3,定义3.13.1.1 特征值与特征向量的基本概念 10/1,例1,解,是,不是,11/17/2024,4,例1解是不是10/10/20234,命题1,命题2,命题3,矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的。,11/17/2024,5,命题1命题2命题3矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的,它有非零解的充分必要条件是,即,怎样求矩阵A的特征值与特征向量？,11/17/2024,6,它有非零解的充分必要条件是即怎样求矩阵A的特征值与特征向量？,矩阵的特征方程和特征多项式定义3.2,A的特征方程,A的特征多项式,A的特征矩阵,特征方程的根称为A的,特征根,，,也称为A的,特征值,。,11/17/2024,7,矩阵的特征方程和特征多项式定义3.2A的特征方程A的特征多项,求矩阵的特征值与特征向量的步骤,求矩阵A的特征方程,2.求特征方程的根，即特征值,3,.,对每个特征值,解方程组,求出该齐次线性方程组的通解，除去0向量,便得属于,的全部特征向量。,11/17/2024,8,求矩阵的特征值与特征向量的步骤求矩阵A的特征方程2.求特征方,例2：求矩阵的特征值和特征向量,解,A的特征多项式为,A的特征值为,11/17/2024,9,例2：求矩阵的特征值和特征向量解A的特征多项式为A的特征值为,得基础解系,得基础解系,11/17/2024,10,得基础解系得基础解系10/10/202310,练习:求下列矩阵的特征值和特征向量,解,A的特征多项式为,A的特征值为,即,对应的特征向量可取为,11/17/2024,11,练习:求下列矩阵的特征值和特征向量解A的特征多项式为A的特征,对应的特征向量可取为,11/17/2024,12,对应的特征向量可取为10/10/202312,3.1.2 特征值与特征向量的性质,定理1,定理2,推论,若 n 阶方阵有互不相同的特征值,则其对应的特征向量,线性无关,。,11/17/2024,13,3.1.2 特征值与特征向量的性质 定理1定理2推论若 n,定理3,11/17/2024,14,定理310/10/202314,(2)由于,11/17/2024,15,(2)由于10/10/202315,定理4,设 A 是 n 阶方阵，,是,的特征值.,若,为,A,的特征值，则,11/17/2024,16,定理4设 A 是 n 阶方阵，是的特征值.若 为 A 的,11/17/2024,17,10/10/202317,例3,设 A 是一个三阶矩阵，1，2，3是它的三个特征值，试求,（1）,A的主 对角线元素之和,（2）,解,的特征值依次为,11/17/2024,18,例3设 A 是一个三阶矩阵，1，2，3是它的三个特征值，试求,例4,试证 n 阶矩阵 A 是不可逆(奇异)矩阵的充要条件是 A 中至少有一个特征值为0。,证明,因为,为,A的特征值,）,所以,的充分必要条件是至少有一个特征值,为零,。,11/17/2024,19,例4试证 n 阶矩阵 A 是不可逆(奇异)矩阵的充要条件是,第2节,矩阵的对角化,11/17/2024,20,第2节矩阵的对角化10/10/202320,定义3.3,设 A和B为 n 阶矩阵,如果存在n 阶可逆矩阵P，,使得,则称A相似于B，或说A和B相似(similar),记做A,B.,性质,（1）反身性 A相似于A,（2）对称性 A相似于B，可推出B相似于A,（3）传递性 A相似于B，B相似于C，可推出,A相似于C。,3.2.1 相似矩阵及其性质,11/17/2024,21,定义3.3 设 A和B为 n 阶矩阵,如果存在n 阶可逆矩阵,容易证明相似矩阵的如下性质：,（1）反身性，即,（2）对称性，即如果,则,（3）传递性，即如果,则,证明,证明,证明,11/17/2024,22,容易证明相似矩阵的如下性质：（1）反身性，即（2）对称性，即,方阵的迹定义3.4,方阵的迹是它的主对角线上的元素和,例5,tr(A)=2+(-3)+0=-1,性质,：(1),tr(A+B)=tr(A)+tr(B),(2),tr(AB)=tr(BA)(性质3.1),11/17/2024,23,方阵的迹定义3.4方阵的迹是它的主对角线上的元素和例5tr(,性质3.1(2)设,则,证明,故,11/17/2024,24,性质3.1(2)设 则证明 故10/10/2023,相似矩阵的性质,若A和B相似，则,A和B有相等的秩。,2.方阵A和B有相等的行列式,。(性质3.2),证明（1）,11/17/2024,25,相似矩阵的性质若A和B相似，则A和B有相等的秩。2.方阵A和,3.方阵A和B有相等的迹,。(性质3.2),4.方阵A和B有相同的特征多项式，因而有相同的特征值。,TH5,推论,如果矩阵A相似于一个对角矩阵，则对角矩阵的主对角线上的元素就是A的全部特征值。,11/17/2024,26,3.方阵A和B有相等的迹。(性质3.2)4.方阵A和B有相同,易证,对角形矩阵,则,是 的全部特征值。,11/17/2024,27,易证对角形矩阵则,定理3.6,n 阶矩阵A与n 阶对角矩阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量,。,充分性,3.2.2 矩阵的对角化,11/17/2024,28,定理3.6 n 阶矩阵A与n 阶对角矩阵相似的充,必要性,设A相似于对角矩阵,即存在可逆矩阵B，使得,由B可逆便知：,都是非零向量，因而都是A的特征,向量，且,线性无关。,11/17/2024,29,必要性设A相似于对角矩阵即存在可逆矩阵B，使得由B可逆便知：,推论,如果n阶矩阵A的特征值,互不相同,则A相似于对角矩阵,定理3.7,n 阶 矩阵 A 与对角矩阵相似的充分必要条件是对于每一个 重特征值 ,对应着 个线性无关的特征向量.,11/17/2024,30,推论如果n阶矩阵A的特征值互不相同则A相似于对角矩阵定理3.,相似变换,若A有n个线性无关的特征向量则A相似于对角阵,11/17/2024,31,相似变换若A有n个线性无关的特征向量则A相似于对角阵10/1,例,矩阵 能否相似于对角阵?,解,A的特征方程为,得特征值为,11/17/2024,32,例 矩阵 能否相似于对角阵?,对于,解方程组,解方程组,可求得特征向量,是对应于 的全部特征向量.,不存在两个线性无关的特征向量.由定理可知A不能与对角阵相似.,因为 是二重根,而对应于特征根,11/17/2024,33,对于解方程组解方程组可求得特征向量是对应于,将一个方阵A对角化,可以按P88如下步骤进行:,11/17/2024,34,将一个方阵A对角化,可以按P88如下步骤进行:10/10/2,注,(1):若A的全部线性无关特征向量个数小于n 个,则不能对角化,此时A只能化为若当标准形.,11/17/2024,35,注(1):若A的全部线性无关特征向量个数小于n 个,则不能对,例,用相似变换化下列矩阵为对角阵,解:,A的特征方程为,特征值为,对于,可求得特征向量,对于,可求得线性无关的特征向量,这三个特征向量线性无关,11/17/2024,36,例 用相似变换化下列矩阵为对角阵解:A的特征方程为特,11/17/2024,37,10/10/202337,练一练,用相似变换化矩阵为对角形.,11/17/2024,38,练一练用相似变换化矩阵为对角形.10/10/202338,应用 :利用对角化计算矩阵的幂,11/17/2024,39,应用 :利用对角化计算矩阵的幂10/10/202339,设,解:,A的特征方程为,特征值为,对应的特征向量为,对应的特征向量为,例7,11/17/2024,40,设解:A的特征方程为特征值为对应的特征向量为对应的特征向量为,练习,已知,问 满足什么条件时，,A,可对角化？,解,首先,所以，,A,的特征值为2（重数为,1,）和1（重数为,2,）。,11/17/2024,41,练习 已知 问 满足什么条件时，A可对角化？解,考虑,A,的特征值 1。对方程组 ，,仅当 秩 时，才能使基础解系含,2,个解向量。,又,故 。,所以，当 时，,A,可对角化。,11/17/2024,42,考虑 A的特征值 1。对方程组,11/17/2024,43,10/10/202343,11/17/2024,44,10/10/202344,THE END.,P88将一个方阵A对角化的三步骤.,思考?,第三章作业:,1(4),3,7,9,10(3),11,15,16,预习 向量的内积,正交向量组和正交矩阵,11/17/2024,45,THE END.P88将一个方阵A对角化的三步骤.预习,