齐次线性方程组

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,解向量的概念,设有齐次线性方程组,若记,（,1,）,一、齐次线性方程组的解,则上述方程组（,1,）可写成向量方程,若,为方程 的,解，则,称为方程组,(1),的,解向量,，它也就是向量方程,(2),的解,齐次线性方程组解的性质,（,1,）若 为 的解，则,也是 的解,.,证明,（,2,）若 为 的解，为实数，则,也是 的解,证明,由以上两个性质可知，方程组的全体解向量,所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，,因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线,性方程组 的,解空间,证毕,.,3,基础解系的定义,证 直接验证它们构成基础解系的三个条件。首先，它们的个数与已给的基础解系,.,齐次线性方程组的通解的求法,设齐次线性方程组的系数矩阵为 ，并不妨,设 的前 个列向量线性无关,于是 通过初等变换可化为,现对 取下列 组数：,依次得,从而求得原方程组的 个解：,可以看出 是齐次线性方程组解空,间的一个基,由于 个 维向量,线性无关，,所以 个 维向量 亦线性无关,.,说明,解空间的基不是唯一的,解空间的基又称为方程组的,基础解系,若 是 的基础解系，则,其,通解,为,例,1,求齐次线性方程组,的基础解系与通解,.,解,对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩,阵，有,例,2,解线性方程组,解,对系数矩阵施,行初等行变换,即方程组有无穷多解，,其基础解系中有三个线性无关的解向量,.,所以原方程组的一个基础解系为,故原方程组的通解为,例,3,证,见书上例题,6,、,7,、,8,（,P115-116,）,齐次线性方程组基础解系的求法,四、小结,（,1,）对系数矩阵 进行初等变换，将其化为,最简形,由于,令,（,2,）得出 ，同时也可知方程组的一,个基础解系含有 个线性无关的解向量,故,为齐次线性方程组的一个基础解系,.,