(新课程)高中数学-4-1-2-数学归纳法应用举例(习题课)ppt课件-新人教A版选修4-5

单击此处编辑母版文本样式单击此处编辑母版文本样式单击此处编辑母版文本样式单击此处编辑母版文本样式,第二级二级二级二级二级二级二级二级二级二级二级二级二级二级,第三级,第四级,第五级,课堂讲练互动,知能达标演练,第,2,课时数学归纳法应用举例,(,习题课,),【,课标要求,】,1,进一步理解数学归纳法原理,2,会用数学归纳法证明整除问题以及平面几何中的有关问题,第2课时数学归纳法应用举例(习题课)【课标要求】,【,核心扫描,】,1,利用数学归纳法证明整除问题，注意,“,添项,”,与,“,减项,”,等变形技巧,(,难点,),2,证明几何问题时，要正确分析由,n,k,到,n,k,1,时几何图形的变化规律,(,难点,),【核心扫描】,题型一用数学归纳法证明整除性问题,【,例,1】,已知数列,a,n,满足,a,1,0,，,a,2,1,，当,n,N,*,时，,a,n,2,a,n,1,a,n,，求证：数列,a,n,的第,4,m,1,项,(,m,N,*,),能被,3,整除,思维启迪,数学归纳法证明整除问题的方法与其证明等式和不等式的方法一样当由,n,k,到,n,k,1,的证明时要注意分解成几个含除式的多项式的和差变化,题型一用数学归纳法证明整除性问题【例1】已知数列an,证明,(1),当,m,1,时，,a,4,m,1,a,5,a,4,a,3,(,a,3,a,2,),(,a,2,a,1,),(,a,2,a,1,),2,a,2,a,1,3,a,2,2,a,1,3,0,3.,即当,m,1,时，第,4,m,1,项能被,3,整除,(新课程)高中数学-4-1-2-数学归纳法应用举例(习题课)ppt课件-新人教A版选修4-5,(2),假设当,m,k,时，,a,4,k,1,能被,3,整除，则当,m,k,1,时，,a,4(,k,1),1,a,4,k,5,a,4,k,4,a,4,k,3,2,a,4,k,3,a,4,k,2,2(,a,4,k,2,a,4,k,1,),a,4,k,2,3,a,4,k,2,2,a,4,k,1,.,显然，,3,a,4,k,2,能被,3,整除，又由假设知,a,4,k,1,能被,3,整除,3,a,4,k,2,2,a,4,k,1,能被,3,整除,即当,m,k,1,时，,a,4(,k,1),1,也能被,3,整除,由,(1),和,(2),知，对于,n,N,*,，数列,a,n,中的第,4,m,1,项能被,3,整除,(2)假设当mk时，a4k1能被3整除，则当mk1时,规律方法,本题若从递推式入手，设法求出通项公式，会相当困难这时，可转向用数学归纳法证明,(新课程)高中数学-4-1-2-数学归纳法应用举例(习题课)ppt课件-新人教A版选修4-5,【,变式,1】,用数学归纳法证明：,(,x,1),n,1,(,x,2),2,n,1,(,n,N,*,),能被,x,2,3,x,3,整除,证明,(1),当,n,1,时，,(,x,1),1,1,(,x,2),2,1,x,2,3,x,3,，,显然命题成立,(2),假设,n,k,(,k,1),时，命题成立，,即,(,x,1),k,1,(,x,2),2,k,1,能被,x,2,3,x,3,整除，,则当,n,k,1,时，,【变式1】用数学归纳法证明：(x1)n1(x2)2,(,x,1),k,2,(,x,2),2,k,1,(,x,1),k,2,(,x,1)(,x,2),2,k,1,(,x,2),2,k,1,(,x,1)(,x,2),2,k,1,(,x,1)(,x,1),k,1,(,x,2),2,k,1,(,x,2),2,k,1,(,x,2,3,x,3),由假设可知上式可被,x,2,3,x,3,整除，,即,n,k,1,时命题成立由,(1)(2),可知原命题成立,(新课程)高中数学-4-1-2-数学归纳法应用举例(习题课)ppt课件-新人教A版选修4-5,题型二探索问题,思维启迪,由几个简单的特殊形式找出,a,的最大值，然后用数学归纳法进行证明即可,题型二探索问题思维启迪 由几个简单的特殊形式找出a的最,(新课程)高中数学-4-1-2-数学归纳法应用举例(习题课)ppt课件-新人教A版选修4-5,(新课程)高中数学-4-1-2-数学归纳法应用举例(习题课)ppt课件-新人教A版选修4-5,(新课程)高中数学-4-1-2-数学归纳法应用举例(习题课)ppt课件-新人教A版选修4-5,规律方法,利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是：先通过观察、判断，猜想出结论，然后用数学归纳法证明这种分析问题和解决问题的思路是非常重要的，特别是在求解存在性或探索性问题时,规律方法 利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是：先通过观察,【,变式,2】,已知,f,(,n,),(2,n,7),3,n,9,，是否存在正整数,m,，使得对任意,n,N,*,，都能使,m,整除,f,(,n,),？如果存在，求出,m,最大的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由,解,f,(1),36,，,f,(2),108,，,f,(3),360,猜想：能整除,f,(,n,),的最大整数是,36.,用数学归纳法证明如下：,(1),当,n,1,时，,f,(1),(21,7)3,9,36,，能被,36,整除,(2),假设,n,k,(,k,1),时，,f,(,k,),能被,36,整除，,即,(2,k,7),3,k,9,能被,36,整除,(新课程)高中数学-4-1-2-数学归纳法应用举例(习题课)ppt课件-新人教A版选修4-5,则当,n,k,1,时，,f,(,k,1),2(,k,1),7,3,k,1,9,3(2,k,7),3,k,9,18(3,k,1,1),由归纳假设,3(2,k,7),3,k,9,能被,36,整除，,而,3,k,1,1,是偶数,18(3,k,1,1),能被,36,整除,当,n,k,1,时，,f,(,n,),能被,36,整除,由,(1)(2),可知，对任意,n,N,*,，,f,(,n,),能被,36,整除,(新课程)高中数学-4-1-2-数学归纳法应用举例(习题课)ppt课件-新人教A版选修4-5,题型三用数学归纳法证明几何问题,【,例,3】,平面上有,n,个圆，每两圆交于两点，每三圆不过同一点，求证这,n,个圆分平面为,n,2,n,2,个部分,思维启迪,先由,n,1,2,3,时找出是否遵循,n,2,n,2,的特点再找出每增加一个圆分割平面增加的特点然后用数学归纳法进行证明一定要结合图形进行分析,题型三用数学归纳法证明几何问题【例3】平面上有n个圆，每,证明,(1),当,n,1,时，,n,2,n,2,1,1,2,2,，而一圆把平面分成两部分，所以,n,1,命题成立,(2),设,n,k,时，,k,个圆分平面为,k,2,k,2,个部分，则,n,k,1,时，第,k,1,个圆与前,k,个圆有,2,k,个交点，这,2,k,个交点分第,k,1,个圆为,2,k,段，每一段都将原来所在的平面一分为二，故增加了,2,k,个平面块，共有：,(,k,2,k,2),2,k,(,k,1),2,(,k,1),2,个部分,对,n,k,1,也成立,由,(1)(2),可知，这,n,个圆分割平面为,n,2,n,2,个部分,证明(1)当n1时，n2n21122，而一圆,规律方法,如何应用归纳假设及已知条件，其关键是分析,k,增加,“,1,”,时，研究第,(,k,1),个圆与其他,k,个圆的交点个数问题，通常要结合图形分析,(新课程)高中数学-4-1-2-数学归纳法应用举例(习题课)ppt课件-新人教A版选修4-5,(新课程)高中数学-4-1-2-数学归纳法应用举例(习题课)ppt课件-新人教A版选修4-5,(新课程)高中数学-4-1-2-数学归纳法应用举例(习题课)ppt课件-新人教A版选修4-5,方法技巧用数学归纳法证明整除问题,【,示例,】,求证：二项式,x,2,n,y,2,n,(,n,N,),能被,x,y,整除,思路分析,由题目可获取以下主要信息：,与正整数有关的命题,直接对,x,2,n,y,2,n,进行分解得出因式,x,y,有困难解答本题可采用数学归纳法,方法技巧用数学归纳法证明整除问题【示例】求证：二项式x2,(新课程)高中数学-4-1-2-数学归纳法应用举例(习题课)ppt课件-新人教A版选修4-5,x,2,k,y,2,k,与,x,2,y,2,都能被,x,y,整除，,x,2,(,x,2,k,y,2,k,),y,2,k,(,x,2,y,2,),能被,x,y,整除，,即,n,k,1,时，,x,2,k,2,y,2,k,2,能被,x,y,整除,由,(1)(2),可知，对任意的正整数,n,命题均成立,x2ky2k与x2y2都能被xy整除，,方法点评,与,n,有关的整除问题一般都用数学归纳法证明其中关键问题是从,n,k,1,时的表达式中分解出,n,k,时的表达式与一个含除式的因式或几个含除式的因式这样才能得结论成立,.,(新课程)高中数学-4-1-2-数学归纳法应用举例(习题课)ppt课件-新人教A版选修4-5,