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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,24.1,圆的有关性质,第二十四章 圆,24.1.4,圆周角,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,24.1 圆的有关性质第二十四章 圆24.1.4 圆周,学习目标,1.,理解圆周角的概念，,会叙述并证明圆周角定理,.,2.,理解圆周角与圆心角的关系并,能运用圆周角定理解决简单的几何问题,.,（重点、难点）,3.,理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用,.,（难点）,学习目标1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.,问题,1,什么叫圆心角？指出图中的圆心角？,顶点在圆心的角叫圆心角,BOC.,导入新课,问题,2,如图，,BAC,的顶点和边有哪些特点,?,A,BAC,的顶点在,O,上，角的两边分别交,O,于,B,、,C,两点,.,复习引入,问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？顶点在圆心的,视频引入,视频引入,C,A,E,D,B,思考：,图中,过球门A、C两点画圆，球员射中球门的难易程度与他所处的位置B、D、E有关（张开的角度大小）、仅从数学的角度考虑，球员应选择从哪一点的位置射门更有利？,CAEDB思考：图中过球门A、C两点画圆，球员射中球门的难,顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做,圆周角,.,（两个条件必须同时具备，缺一不可）,讲授新课,圆周角的定义,一,顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.（两个条件必须,C,O,A,B,C,O,B,C,O,B,A,A,C,O,A,B,C,O,B,C,O,B,A,A,判一判：,下列各图中的,BAC,是否为圆周角并简述理由,.,（,2,）,（,1,）,（,3,）,（,5,）,（,6,）,顶点不在圆上,顶点不在圆上,边,AC,没有和圆相交,COABCOBCOBAACOABCOBCOBAA,如图，连接,BO,CO,得圆心角,BOC,.,试猜想,BAC,与,BOC,存在怎样的数量关系,.,圆周角定理及其推论,二,测量与猜测,如图，连接BO,CO,得圆心角BOC.试猜想BAC与B,圆心,O,在,BAC,的,内部,圆心,O,在,BAC,的,一边上,圆心,O,在,BAC,的,外部,推导与论证,圆心O 在BAC的 内部圆心O在BAC的一边上圆心O在,圆心,O,在,BAC,的一边上,（,特殊情形,）,OA=OC,A,=,C,BOC,=,A,+,C,圆心O在BAC的一边上（特殊情形）OA=OCA=C,O,A,B,D,O,A,C,D,O,A,B,C,D,圆心,O,在,BAC,的内部,O,A,C,D,O,A,B,D,OABDOACDOABCD圆心O在BAC的内部OACDOA,O,A,B,D,C,O,A,D,C,O,A,B,D,C,O,A,D,O,A,B,D,C,O,A,D,O,A,B,D,圆心,O,在,BAC,的外部,OABDCOADCOABDCOADOABDCOADOABD圆,圆周角定理：,一条弧,所对的圆周角等于该弧它,所对的,圆心角,的,一半；,圆周角定理,要点归纳,圆周角定理：圆周角定理要点归纳,问题,1,如图，,OB,，,OC,都是,O,的半径，点,A,D,是上任意两点，连接,AB,，,AC,，,BD,，,CD,.,BAC,与,BDC,相等吗？请说明理由,.,D,互动探究,BAC=,BDC,相等,问题1 如图，OB，OC都是O的半径，点A,D 是上任,D,A,B,O,C,E,F,问题,2,如图，若,A,与,B,相等吗？,相等,想一想：,(1),反过来，若,A,=,B,，那么 成立吗？,(2),若,CD,是直径，你能求出,A,的度数吗？,DABOCEF问题2 如图，若,圆周角定理的推论,同弧或等弧所对,的圆周角相等,.,知识要点,A,1,A,2,A,3,圆周角定理的推论同弧或等弧所对的圆周角相等.知识要点A1A2,试一试：,1.,如图，点,A,、,B,、,C,、,D,在,O,上，点,A,与点,D,在点,B,、,C,所在直线的同侧，,BAC,=35.,(1),BOC,=,，理由,是,;,(2),BDC,=,，,理由是,.,70,35,同弧所对的圆周角相等,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,试一试：(1)BOC=，理由7035同,(1),完成下列填空：,1=,.,2=,.,3=,.,5=,.,2.,如图，点,A,、,B,、,C,、,D,在同一个圆上，,AC,、,BD,为四边形,ABCD,的对角线,.,4,8,6,7,A,B,C,D,O,1,(,(,(,(,(,(,(,(,2,3,4,5,6,7,8,(1)完成下列填空：2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，,想一想,如图，线段,AB,是,O,的直径，点,C,是,O,上的任意一点（除点,A,、,B,外），那么，,ABC,就是直径,AB,所对的圆周角，想一想，,ACB,会是怎样的角？,O,A,C,B,解：,OA=OB=OC,，,AOC,、,BOC,都是等腰三角形,.,OAC=OCA,，,OBC=OCB.,又,OAC,+,OBC+ACB=180.,ACB=OCA+OCB=180,2=90.,想一想如图，线段AB是O的直径，点C是 O上的任意一点（,圆周角和直径的关系,圆周角和直径的关系：,半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于,90,.,知识要点,圆周角和直径的关系圆周角和直径的关系：知识要点,典例精析,例,1,如图，,AB,是,O,的直径，,A=80,.,求,ABC,的大小,.,O,C,A,B,解：,AB,是,O,的直径，,ACB=90,（直径所对的圆周角等于,90,.,）,ABC=180,-,A,-,ACB,=180,-,90,-,80,=10.,典例精析例1 如图，AB是O的直径，A=80.求AB,例,2,如图，分别求出图中,x,的大小,.,60,x,30,20,x,解：,(1),同弧所对圆周角相等,，,x,=60,.,A,D,B,E,C,(2),连接,BF,，,F,同弧所对圆周角相等,，,ABF=D=20,，,FBC=E=30,.,x,=ABF+FBC=50,.,例2 如图，分别求出图中x的大小.60 x3020 x解,例,3,：,如图，,O,的,直径,AC,为,10cm,，弦,AD,为,6cm.,（,1,）,求,DC,的长；,（,2,）,若,ADC,的平分线交,O,于,B,求,AB,、,BC,的长,B,解：,(1),AC,是直径，,ADC,=90.,在,Rt,ADC,中，,例3：如图，O的直径AC为10cm，弦AD为6cm.（2,在,Rt,ABC,中,，,AB,2,+,BC,2,=,AC,2,，,(2),AC,是直径,ABC,=90.,BD,平分,ADC,ADB,=,CDB,.,又,ACB,=,ADB,BAC,=,BDC,.,BAC,=,ACB,AB,=,BC,.,B,解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解,.,归纳,在RtABC中，AB2+BC2=AC2，(2)AC是直,如图，,BD,是,O,的直径，,CBD,30,，则,A,的度数为,(,),A,30 B,45,C,60 D,75,解析：,BD,是,O,的直径，,BCD,90.,CBD,30,，,D,60,，,A,D,60.,故选,C.,方法总结：,在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题,练一练,C,如图，BD是O的直径，CBD30，则A的度数为(,例,4,如图,AB,是,O,的直径,弦,CD,交,AB,于点,P,ACD,=60,ADC,=70.,求,APC,的度数,.,.O,A,D,C,P,B,解,:,连接,BC,则,ACB,=90,DCB,ACB,ACD,90,60=30.,又,BAD,=,DCB,=30,APC,=,BAD,ADC,30,70,100.,例4 如图,AB是O的直径,弦CD交AB于点P,.OA,如果,一个多边形所有,顶点都在同一个圆上,，这个多边形叫做,圆内接多边形,，这个圆叫做这个,多边形的外接圆,.,圆内接四边形,三,如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做,如图，四边形,ABCD,为,O,的内接四边形，,O,为四边形,ABCD,的外接圆,.,探究性质,猜想：,A,与,C,B,与,D,之间,的关系为：,A,+,C,=180,，,B,+,D,=180,想一想：,如何证明你的猜想呢？,如图，四边形ABCD为O的内接四边形，O为四边形,弧,BCD,和弧,BAD,所对的圆心角的和是周角，,A,C,180，,同理,B,D,180,，,证明猜想,归纳总结,推论：,圆的内接四边形的对角互补,.,弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，AC,C,O,D,B,A,弧,BCD,和弧,BAD,所对的圆心角的和是周角，,A,C,180，,同理,B,D,180,，,E,延长,BC,到点,E,，有,B,CD,D,CE,180.,A,D,C,E,.,想一想,图中,A,与,D,C,E,的大小有何关系？,CODBA 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，,归纳总结,推论：,圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角,.,C,O,D,B,A,E,归纳总结推论：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.,1,四边形,ABCD,是,O,的内接四边形，且,A,=110,，,B,=80,，,则,C,=,，,D,=,.,2,O,的内接四边形,ABCD,中，,A,B,C,=1,2,3,，则,D,=,.,70,100,90,练一练,1四边形ABCD是O的内接四边形，且A=110，B,例,5,：,如图，,AB,为,O,的直径，,CF,AB,于,E,，交,O,于,D,，,AF,交,O,于,G,.,求证：,FGD,ADC,.,证明：,四边形,ACDG,内接于,O,，,FGD,ACD,.,又,AB,为,O,的直径，,CF,AB,于,E,，,AB,垂直平分,CD,，,AC,AD,，,ADC,ACD,，,FGD,ADC,.,方法总结：,圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据,例5：如图，AB为O的直径，CFAB于E，交O于D，A,如图，在,O,的内接四边形,ABCD,中，,BOD,120,，那么,BCD,是,(,),A,120 B,100,C,80 D,60,解析：,BOD,120,，,A,60,，,C,180,60,120,，故选,A.,练一练,A,如图，在O的内接四边形ABCD中，BOD120，那么,解：设,A,，,B,，,C,的度数分别对于,2,x,，,3,x,，,6,x,，,例,6,在圆内接四边形,ABCD,中，,A,，,B,，,C,的度数之比是,236.,求这个四边形各角的度数,.,四边形,ABCD,内接于圆，,A,+,C,=,B,+,D,=180,，,2,x,+6,x,=180,，,x,=22.5.,A=45,，,B=67.5,，,C,=135,，,D=180,-,67.5=112.5.,解：设A，B，C的度数分别对于2x，3x，6x，例6,1.,判断,（,1,）,同一个圆中,等弧所对的圆周角相等 （）,（,2,）,相等的弦所对的圆周角也相等 （）,（,3,）,同弦所对的圆周角相等（）,当堂训练,1.判断当堂训练,2.,已知,ABC,的三个顶点在,O,上,BAC,=50,ABC,=47,则,AOB,=,B,A,C,O,166,2.已知ABC的三个顶点在O上,BAC=50,BAC,3.,如图，已知,BD,是,O,的直径，,O,的弦,AC,BD,于点,E,，若,AOD=,60,，则,DBC,的度数为（）,A.30 B.40 C.50 D
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