矩阵乘积的逆高等代数ppt课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,4.4,矩阵的逆,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、可逆矩阵的概念,二、可逆矩阵的判定、求法,4.4,矩阵的逆,三、逆矩阵的运算规律,四、矩阵方程,一、可逆矩阵的概念二、可逆矩阵的判定、求法4.4 矩阵的,一、引例,一、引例,一、可逆矩阵的概念,定义,设,A,为,n,级方阵，如果存在,n,级方阵,B,，使得,AB,BA,E,则称,A,为,可逆矩阵,，,称,B,为,A,的,逆矩阵,.,注：,可逆矩阵,A,的逆矩阵是唯一的，记作,单位矩阵,E,可逆，且,可逆矩阵,A,的逆矩阵也是可逆矩阵，且,一、可逆矩阵的概念 定义 设A为n级方阵，如果存在n级方阵B,2.,逆矩阵的唯一性,若方阵,A,可逆，则其逆矩阵唯一,.,证明,设,B,和,C,都是,A,的逆矩阵，则由定义,有,AB=BA=E,，,AC=CA=E,，,于是,B=BE,=,B,(,AC,),=(,BA,),C,=,EC=C.,所以逆矩阵唯一,.,证毕,2.逆矩阵的唯一性若方阵 A 可逆，则其逆矩阵唯一.证,三、矩阵可逆的条件,现在的问题是：在什么条件下矩阵,A,是可逆,的？,如果,A,可逆，怎样求,A,-1,？,为此先引入伴随,矩阵的概念,.,三、矩阵可逆的条件现在的问题是：在什么条件下矩阵 A 是可逆,二、矩阵可逆的判定及逆矩阵的求法,定义,1,、,伴随矩阵,称为,A,的,伴随矩阵,.,性质,：,余子式，矩阵,设 是矩阵中元素 的代数,二、矩阵可逆的判定及逆矩阵的求法定义1、伴随矩阵称为A的伴随,证：由行列式按一行（列）展开公式,立即可得,同理,证：由行列式按一行（列）展开公式立即可得,同理,非退化的），且,证：若由,所以，,A,可逆，且,两边取行列式，得,2,、,定理,：,矩阵,A,可逆当且仅当,（,即,A,得,反过来，若,A,可逆，则有,非退化的），且证：若由所以，A可逆，且两边取行列式，,则,A,、,B,皆为可逆矩阵，且,证：,由定理知，,A,、,B,皆为可逆矩阵,.,从而,再由,即有，,3,、,推论,：,设,A,、,B,为,n,级方阵，若,则A、B皆为可逆矩阵，且证：由定理知，A、B皆为可逆矩阵,例,1,判断矩阵,A,是否可逆，若可逆，求其逆,.,例1判断矩阵A是否可逆，若可逆，求其逆.,解：,1,）,A,可逆,.,再由,有,解：1）A可逆.再由有,当时，,A,可逆,.,且由于,当时，A可逆.且由于,三、逆矩阵的运算规律,三、逆矩阵的运算规律,(5),若,A,可逆，则 亦 可逆，且,(6),若,A,可逆，则 亦 可逆，且,当 时，定义,注：,则有,(5)若A可逆，则 亦 可逆，且 (6),设方阵,A,满足,证明：与 皆可逆，并求其逆,.,例,2,由,即,故,A,可逆，且,再由,得,即,故,可逆，且,证：,得,设方阵 A 满足 证明：与 皆,五、克拉默法则的另一证法,利用矩阵的逆，可以给出克拉默法则的另一种,推导法,.,线性方程组,可以写成,AX=B,.(6),五、克拉默法则的另一证法利用矩阵的逆，可以给出克拉默法则的另,如果,|,A,|,0,，那么,A,可逆,.,用,X=A,-,1,B,代入,(6),，得恒等式,A,(,A,-1,B,)=,B,，这就是说,A,-1,B,是一解,.,如果,X=C,是,(6),的一个解，那么由,AC=B,得,A,-1,(,AC,)=,A,-1,B,，,即,C,=,A,-1,B,.,这就是说，解,X=A,-,1,B,是唯一的,.,用,A,-1,的公式,(4),代入，乘出来就是克拉默法则中给出的公式,.,如果|A|0，那么 A 可逆.用X=A-1B,四、矩阵方程,1,.,线性方程组,令,则（,1,）可看成矩阵方程,若,A,为可逆矩阵，则,四、矩阵方程 1.线性方程组 令则（1）可看成矩阵方程若A,矩阵方程,若,A,为可逆矩阵，则,2,.,推广,矩阵方程,若,A,为可逆矩阵，则,矩阵方程,若,A,B,皆,可逆，则,矩阵方程若A为可逆矩阵，则 2.推广 矩阵方程若A,3,.,矩阵积的秩,定理,4,若,可逆，则,证：,令,又,P,可逆，,由定理,2,，,有,故,3.矩阵积的秩 定理4若 可逆，则 证：令 又P可逆，,例,3,解矩阵方程,解：,一般地，,可逆,.,注,:,例3 解矩阵方程解：一般地，可逆.注:,练,习,已知,求矩阵,B,解：由,，得,，又,可逆，且,练已知 求矩阵B解：由，得，又 可逆，且,例,4,解下列矩阵方程,AXB=C,其中,解,由已知易得,X,=,A,-1,CB,-1,下面求,A,和,B,的逆阵,.,例 4 解下列矩阵方程AXB=C,所以,所以,矩阵乘积的逆高等代数ppt课件,例,5,设,n,级矩阵,A,B,A+B,均可逆,证明,(,A,-1,+,B,-1,),-1,=,A,(,A+B,),-1,B,=,B,(,B+A,),-1,A.,证,将,A,-1,+,B,-1,表示成已知的可逆矩阵的乘积,:,A,-1,+,B,-1,=,A,-1,(,E+AB,-1,)=,A,-1,(,BB,-1,+,AB,-1,),=,A,-1,(,B+A,),B,-1,.,由可逆矩阵的性质可知,(,A,-1,+,B,-1,),-1,=,A,-1,(,A+B,),B,-1,-1,=,B,(,B+A,),-1,A.,同理可证另一个等式也成立,.,例 5 设 n 级矩阵 A,B,A+B 均可逆,例,6,设,A,为,n,级方阵,(,n,2),证明,|,A,*,|=|,A,|,n,-1,.,证,由于,AA,*,=,A,*,A,=,|A|E,所以,|A|A,*,|,=|A|,n,(4),下面分三种情形讨论,:,(1),|,A,|0,即,A,可逆,(4),式两端除以,|,A,|,即,得,|,A,*,|=,|A|,n,-1,.,(2),|,A,|=0,且,A,=,O,则,A,*,=,O,结论显然成,立,.,例 6 设 A 为 n 级方阵(n 2),证明,(3),|,A,|=0,但,A,O,反设,|A,*,|0,则,A,*,可逆,因而,A,=(,AA,*,)(,A,*,),-1,=(|,A,|,E,)(,A,*,),-1,=|,A,|(,A,*,),-1,=,O,故,A,=,O,与,A,O,矛盾,所以,|,A,*,|=0=|,A,|,n,-1,.,(3)|A|=0,但 A O,反设|A*|,