十二章节无穷级数课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第十二章 无穷级数,第十二章 无穷级数,1,1,常数项级数的概念及其性质,一、基本概念,定义,给了数列,将它们依次用加号连接起来而得的表达式,称为常数项无穷级数，,简称常数项级数，,或级数，,记为,，即,1 常数项级数的概念及其性质一、基本概念定义给了数列将,2,给了级数,设,为任一正整数，,定义,为级数,的前,项部分和。,部分和数列,给了级数设为任一正整数，定义为级数的前项部分和。部分和数列,3,定义,若级数,的部分和数列,的极限存在，,极限值记为,，,即,则称级数,是收敛的，,并称极限值,为级数,的和，,记为,若,的极限不存在，,则称级数,是发散的。,.,定义 若级数的部分和数列的极限存在，极限值记为，即则称级数,4,例,1,讨论等比级数（又称几何级数）,的收敛性。,解,级数,的前,项部分和,，,，,讨论,:,收敛，,且其和为,例1 讨论等比级数（又称几何级数）的收敛性。解级数的前项部分,5,发散。,发散。,不存在,发散。发散。不存在,6,由,(1)(2)(3),得：,收敛，,发散，,且和为,，,由(1)(2)(3)得：收敛，发散，且和为，,7,证,级数,的前,项部分和,发散。,例,2,证明级数,是发散的。,证级数的前项部分和发散。例2证明级数是发散的。,8,解,例,3,判定级数,的收敛性。,收敛。,解例3判定级数的收敛性。收敛。,9,证,例,4,证明调和级数,是发散的。,（反证）,假设,是收敛的。,设它的部分和为,则,存在，,记极限值为,，即,证例4证明调和级数是发散的。（反证）假设是收敛的。设它的部分,10,即,(*),另一方面，,即(*)另一方面，,11,这与,(*),式矛盾！,是发散的。,二、级数的基本性质,1,、,若,收敛，,设其和为,，则,也收敛，,且其和为,.,这与(*)式矛盾！是发散的。二、级数的基本性质1、若收敛，设,12,2,、,若,收敛，,其和为,则,收敛，,其和为,(1),收敛，,且其和为,(2),收敛，,且其和为,2、若收敛，其和为则收敛，其和为(1)收敛，且其和为(2)收,13,3,、,在级数的前面或中间,去掉、添加或改变,有限项，,所得级数与原级数的收敛性相同。,注意：,和变了,（,）,4,、,若一个级数收敛，,则对其项任意加括号后,所得级数也收敛，,且其和不变。,注意：,反之不然,（,）,反例：,3、在级数的前面或中间,去掉、添加或改变有限项，所得级数与原,14,不存在,发散,即,(,),(,),收敛,但,发散,的部分和,加括号,不存在发散即()()收敛但发散的部分和加括号,15,性质,4,的逆否命题：,若一个级数加括号后所得级数发散，,则原级数也发散。,说明：,可利用这个命题，来判断一个级数是发散的。,三、,级数收敛的必要条件,定义,设,收敛，,其和为,，,设它的前,项部分和为,，,称,为,的余项，,记为,，,即,性质4 的逆否命题：若一个级数加括号后所得级数发散，则原级,16,定理,若,收敛，,则,证,设,的部分和为,收敛,定理若收敛，则证设的部分和为收敛,17,注意,其逆命题不对。,反例：,但,发散。,注意其逆命题不对。反例：但发散。,18,推论,若,，,则,发散。,例,发散,发散,推论若，则发散。例发散发散,19,作业：,P254,1(1)(3),，,2(3)(4),3,4,作业：P254,1(1)(3)，2(3)(4),20,