六-上海交通大学数学系

,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,Click to edit Master title stylea,上海交通大学,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,Click to edit Master title stylea,*,数学试验,行星的轨道,和位置,他以几乎神一般的思维力,最先说明白行星的运动和图像,慧星的轨道和大海的潮汐,.,Newton,墓志铭,背景介绍,哥白尼,(,波兰，,1473-1543),日心说,地球,我们的家园,金星,看起来最亮的行星,46,亿岁,赤道半径,6378.14,公里，比极半径长,21,公里,半径约为6073公里,外表温度高达465至485度,自转,方向与其它行星相反,16,世纪前，人们认为太阳只有,6,大行星,托勒密古希腊 地心说,土星最美丽的行星,木星,行星中的巨无霸,火星,离地球最近、人们最关注的行星：,半径为2440公里,较小，难以观看,水星,距太阳最近的行星,火星上有无生命？,卫星数目最多,23颗.光环由很多块冰状物组成的,赤道半径约为,71400,公里，是地球的,11.2,倍,开普勒(15711630)(观看分析数据),3.,行星运行周期的平方与其运行轨道椭圆长轴,行星运行三大规律,1.,行星运行的轨道是以太阳为一个焦点的椭圆,;,2.,从太阳指向某一行星的线段在单位时间内,的立方之比值是不随行星而转变的常数.,扫过的面积一样;,在第谷布拉赫(1546-1601)的根底上提出,万有引力定律,冥王星,离太阳最远、未知数最多的行星,天王星乐师(Herschel)觉察的行星(1781),海王星,笔尖上的行星,(Adams 1845,Leverrier 1846),“,自然哲学的数学原理”,(1687,牛顿,),2023年8月24日国际天文学联合大会打算：,冥王星降级为“矮行星”,(,大行星的定义,),太阳只有,八大行星,！,实际问题,度为,2.92910,4,m/s,试求,:,1),地球距太阳的最近距离,地球距太阳最远处,(,远日点,),距离为,1.52110,11,m,此时地球绕太阳运动,(,公转,),的速,2),地球绕太阳运转的周期,3)在从远日点开头的第100天完毕时,地球的位置与速度,行星运动轨迹位于一个平面上,把太阳置于坐标系的原点，记行星的位置向量为,于是，,由于,由牛顿其次运动定律及万有引力定律得,所以,即,，,故行星位于一个过原点且垂直于 的平面上,.,，那么行星的速度为 ，加速度为,.,数学模型,在运动学中常承受复坐标系(点用复数表示),速度为,加速度,设太阳中心所在位置为复平面之原点,在时刻,t,行星位于以下复数代表的点,依据 Newton 其次定律,比较虚实部导出,微分方程组,方程初始条件,导出行星运行其次定律,后两个如,何得到？,右边正是面积,轨道方程,请尝试推导出行星的轨道方程？,(p,e 是常数,依据相关数据导出),改写前面积分表达式成为,给出时间,T,1,，要求位置即求出,1,与,r,，较难！,求解思路,function m5_1(h),ep=0.01672;C1=4.455e15;p=1.496e11;T1=100*24*3600;,f=C1*T1/p2;,theta(1)=0;,F(1)=0;,for i=2:1e6,theta(i)=theta(i-1)+h;,F(i)=F(i-1)+h*(1-ep*cos(theta(i-1)-2+(1-ep*cos(theta(i)-2)/2;,if F(i)f,break;,end,end,n=i-2,t=n*h,r=p/(1-ep*cos(t),dtheta=C1/r2,v=r*dtheta,Matlab,程序,取不同步长试验结果,h,n,r,v,0.05,33,1.6500,1.4940,2.9819,0.01,168,1.6800,1.4944,2.9834,0.005,337,1.6850,1.4932,2.9836,0.001,1686,1.6860,1.4931,2.9837,表,1,其中,h,n,r,v,单位分别为,s,次，弧度，,m,m,/,s,代入,再设,代入上式得,数值方法,将高阶微分方程降阶为一阶方程组再离散化,Euler,迭代格式,计算到第,n,步,得到周期,由时间,T,1,易得到,，,r,将计算所得的数据，利用,Matlab,作图可得,轨道图形,改进 Euler 迭代格式,对上面方程组用改进Euler 迭代格式,其中,任务：写出这方程组的改进Euler迭代格式,并用,Matlab,实现,艾萨克,牛顿,Sir Isaac Newton,(,英格兰,1643,1727,年,),物理学家 数学家 天文学家,哲学家,炼金术士 造币厂总监,科学史上最有影响力的人,较之科学他更多致力于的争论,专心于科学争论到痴情,What Descartes did was a good step you have added much several ways&especially in taking the colors of the thin plates into philosophical consideration.,If I have seen further it is by standing on the shoulders of Giants.,牛顿的一句名言,性格内向 单身一生,在确定行星轨道为椭圆以后可取,t,=T/4,需要取比较小的步长h,近日点确实定,处,r,的值为近日点，也可以求,r,的最小值作为,近日点距离,相应点的速度怎么求？,可以求得地球的近日点距太阳,r,min,=1.471,10,11,m,而在第100天完毕时的位置，则只要求这个时间tk,所对应的,r,k,就可以了，此时,r,=1.493,10,11,m,微分方程的,Runge-kutta,方法,以一元为例,设步长为,h,则,Taylor 开放,其中,可以求出各阶导数,计算高阶导数 代之以,f,在一些点的值的组合,当Taylor 开放到四阶项，可取,其中,Runge-Kutte,迭代格式,在,Matlab,可以直接调用,使用,Matlab,function,dy=m5_2_fun(t,y),C1=4.455e15;MG=1.989e30*6.672e-11;,dy=zeros(3,1);,dy(1)=C12/y(2)3-MG/y(2)2;,dy(2)=y(1);,dy(3)=C1/y(2)2;,先定义一阶微分方程组函数组,再调用,Runge-kutte,方法专用程序：,function,T=m5_2(h),t,y=ode45(m,5,_2_fun,0:h:400*24*36,00,0,1.521e11,0);,n=max(find(y(:,3)2*pi);%,查找小于,2pi,所对应的最大,n,值,T=t(n);,r=y(round(n/2),2);,polar(y(:,3),y(:,2),取不同步长试验结果,h,T,T,r,0.01,3.1500,364.58,1.4710,0.005,3.1550,365.16,1.4710,0.0005,3.1555,365.22,1.4710,0.0001,3.1559,365.23,1.4710,表,2,两个小软件展现,试验任务,任务,2.,水星距太阳最远处距离为,0.698210,11,m,此时水星绕太阳运行的线速度为,3.88610,4,m/s,画出水星绕太阳运行的轨道曲线,试求,:,1),水星绕太阳运行的周期,2),水星到太阳的最近距离,3)求从远日点开头的第50天(地球天),完毕时水星的位置,任务,4.,冥王星在,1989,年,10,月处于近日点距,太阳,44.4 10,11,m,此时其线速度为,0.6122,10,4,m/s,试求,:,1),它在什么时间到达远日点，此时它的,2),远日点到太阳的距离；,3),其椭圆轨道的偏心率并作图,线速度为多少,?,完成此任务或任务2的不同方法应作比较,先认真阅读教材中解析方法推导开普勒第一,有,引力定律，试完成这个推导。,任务,3.,利用开普勒三定律，也可以推导出万,和第三定律，然后完成如下的：,感谢各位！,