资源描述
单击此处编辑母版标题样式,*,*,返回,上页,下页,目录,新课引入,(Introduction),在前一节，我们利用复合函数的求到法则得到了,“,换元积分法,”,。,但是，,对于形如,的积分用,直接积分法,或,换元积分法,都无法计算.,注意到，,这些积分的被积函数都有共同的特点,都是两种不同类型函数的乘积。,这就启发我们把两个,这就是另一个基本的积分方法：,分部积分法.,函数乘积的微分法则反过来用于求这类不定积分，,11/17/2024,1,新课引入(Introduction)在前一节，我们利用复合函,积分得:,分部积分公式,或,1),v,容易求得;,容易计算.,由导数乘法公式：,11/17/2024,2,积分得:分部积分公式或1)v 容易求得;容易计算.由,第三节 分部积分法,第四章,（Integration by Parts）,例1,求,解:,令,则,原式,另解:,令,则,原式,11/17/2024,3,第三节 分部积分法 第四章（Integration b,解:,令,则,原式=,例2,求,（课本,例3,）,11/17/2024,4,解:令则原式=例2 求（课本 例3）10/5/202,解:,令,则,原式,例3,求,（课本,例4,）,11/17/2024,5,解:令则 原式例3 求（课本例4）10/5/202,解:,令,则,原式,再令,则,故 原式=,说明:,也可设,为三角函数,但两次所设类型,必须一致.,例4,求,（课本,例7,）,11/17/2024,6,解:令,则 原式再令,则故 原式=说,把被积函数视为两个函数之积,按,“反对幂指三”,的,顺序,前者为 后者为,例5,（补充题）,求,解:,令,则,原式=,反,:反三角函数,对:,对数函数,幂:,幂函数,指:,指数函数,三:,三角函数,解题技巧:,（自学课本,例56,）,11/17/2024,7,把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”的顺序,解:,令,则,原式=,例6,（补充题）,求,11/17/2024,8,解:令,则原式=例6（补充题）求10/5/20238,解:,令,则,原式,令,例7,（课本,例10,）,求,11/17/2024,9,解:令则原式令例7（课本 例10）求10/5/20239,解:,令,则,得递推公式,例8,求,（课本,例9,）,11/17/2024,10,解:令则得递推公式例8 求（课本 例9）10/5/202,递推公式,已知,利用递推公式可求得,例如,说明:,11/17/2024,11,递推公式已知利用递推公式可求得例如,说明:10/5/2023,分部积分题目的类型:,1)直接分部化简积分;,2)分部产生循环式,由此解出积分式;,(注意:两次分部选择的,u,v,函数类型不变,解出积分后加,C,),例4,3)对含自然数,n,的积分,通过分部积分建立递,推公式.,说明:,11/17/2024,12,分部积分题目的类型:1)直接分部化简积分;2)分部,的一个原函数是,求,解:,说明:,此题若先求出,再求积分反而复杂.,例9,已知,（补充题）,11/17/2024,13,的一个原函数是求解:说明:此题若先求出再求积分反而复杂.,解法1,先换元后分部,令,即,则,故,例10,求,（补充题）,11/17/2024,14,解法1 先换元后分部令即则故例10 求（补充题）10,解法2,用分部积分法,11/17/2024,15,解法2 用分部积分法10/5/202315,本节小结,分部积分公式,1.使用原则:,易求出,易积分,2.使用经验:,“反对幂指三”,前,u,后,3.题目类型:,分部化简;,循环解出;,递推公式,11/17/2024,16,本节小结分部积分公式1.使用原则:易求出,易积分2.使,课后练习,习题4-3 （偶数题）,思考与练习,1.,下述运算错在哪里?应如何改正?,得,0=1,答:,不定积分是原函数族,相减不应为 0.,求此积分的正确作法是用换元法.,11/17/2024,17,课后练习习题4-3 （偶数题）思考与练习1.下述运,2.,求不定积分,解,：,方法1,(先分部,再换元),令,则,11/17/2024,18,2.求不定积分解：方法1(先分部,再换元)令则10/5,方法2,(先换元,再分部),令,则,故,11/17/2024,19,方法2(先换元,再分部)令则故10/5/202319,3.,求,解:,令,则,11/17/2024,20,3.求解:令则10/5/202320,4.,证明递推公式,证：,注：,或,11/17/2024,21,4.证明递推公式证：注：或10/5/202321,
展开阅读全文