4.4 弧微分与曲率

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,Chapter 4(4),弧微分与曲率,教学要求：,1.了解弧微分的概念及计算;,2.了解曲率和曲率半径的概念;,3.会计算曲率和曲率半径.,1.弧长函数,规定：,2.弧长函数的导数与微分,用,导数定义求得,如图所示.,又,s,=,s,(,x,),是单增函数,弧微分公式,Example 1.,Solution.,Example 2.,Solution.,1.曲率定义,曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量.,弧长相同时,弧段弯曲程度越,大,转角越,大,转角相同时,弧段越,短,弯曲程度越,大,),),),曲线的切线转过的角度称为转角.,定义:,),y,x,o,注意:,(1)直线的曲率处处为零;,(2)圆上各点处的曲率等于半径,的倒数,且半径越小曲率越大.,2.,曲率的计算公式,Proof.,若,曲线方程为参数方程:,代入,曲率的计算公式可得:,1.曲率半径,2.曲率圆,(1)曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数.,注意:,(2)曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).,(3)曲率圆与曲线在点,M,处有相同的切线与曲率.,Example 3.,Solution.,The end,