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第二节二次型的标准形,二 矩阵的合同,一 标准形的概念,三 标准形的求法,定义,假设二次型,的形式,称为二次型的标准形法式,定义,假设能进一步经过非退化线性变换将标准形化为,的形式,称为二次型的标准形,一、二次型的标准形,经过非退化线性变换,X,=,PY,化为平方和,注:,二次型的标准形标准形对角阵,与,标准形,对应,的对角阵:,与标准形对应,的对角阵:,无论是标准形还是标准形都具有非常简单的形式。,问题:,任一二次型能否经过非退化线性变换化为标准形?,假设可以,如何化为标准形?,定理:,数域,F,上的任一二次型,f,=,X,T,AX,都可以经过非退化的,对任意的对称矩阵,A,,存在可逆矩阵,P,使得,线性变换,X,=,PY,化为标准形。,上述定理可等价的描述为:,二、矩阵的合同,定义:设A、B均为n阶方阵,假设存在可逆矩阵P,使得,那么称A与B合同,记作:,问题一:,二次型能否化成标准形?,合同具有如下性质:,注:,矩阵的,合同,其实是一种,特殊,的,等价。,反身性,对称性,传递性,合同矩阵具有相同的秩.,与对称矩阵合同的矩阵也是对称矩阵.,等价,注:,矩阵,合同,与矩阵,相似,是两个不同的概念,矩阵,合同:,矩阵,相似:,那么存在可逆矩阵,注:,矩阵,合同,与矩阵,相似,是两个不同的概念,定理:,任意一个对称矩阵必合同于一对角阵。,使得,A,与,B,合同,;,但A与B不相似因为它们不均有相同的特征值。,问题二:,如何化二次型为标准形?,三种方法:,Lagrange配,方法,行列对称初等变化法,正交变换法-,本章重点,思想:,利用代数公式将二次型配成完全平方式的形式,例:,用配方法化二次型为标准形,解:,Lagrange配方,法,思想:,由定理可知,任一对称矩阵A必合同于一对角阵,,其中,r,(,A,)=,r,,进一步那么有,又因P可逆,那么P一定可以表示有限个初等矩阵的乘积,,行列对称初等变化法,即:,注:,初等矩阵与其转置的对应关系,上式说明在对A做一次行初等变换的同时,必须做一次完全一样的列初等变换行列对称,例:,用,行列对称初等变换法,化二次型为标准形,注:,对称矩阵每施行一次行列对称初等变换仍是对称矩阵,
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