第3章 测量误差及数据处理

*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,3,章 测量误差及数据处理,本章主要内容,3.1,测量误差的分类和测量结果的表征,3.2,测量误差的估计和处理,3.3,测量不确定度,3.4,测量数据处理（有效数字的处理）,2,3.1,测量误差的分类和测量结果的表征,3.1.1,测量误差的分类,根据测量误差的,性质,分类：,(1),随机误差,(2),系统误差,(3),粗大误差,3,定性定义：,在同一测量条件下（指在测量环境、测量人员、测量技术和测量仪器都相同的条件下），多次重复测量同一量值时（等精度测量），每次测量误差的绝对值和符号都以不可预知的方式变化的误差，称为随机误差或偶然误差，简称随差。,误差来源：,随机,变化微小影响因素：噪声干扰、电磁场微变、零件的摩擦和配合间隙、热起伏、空气扰动、大地微震、测量人员感官等。,(1),随机误差,4,定量定义：,测量结果与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差：,例如：,对一不变的电压在相同情况下，多次测量得到,1.235V,，,1.237V,，,1.234V,，,1.236V,，,1.235V,，,1.237V,。,解,：根据定义，,求算术平均值,:,(1),随机误差,5,定性定义,在同一测量条件下，多次测量重复同一量时，测量误差的绝对值和符号都保持不变，或在测量条件改变时按一定规律变化的误差，称为,系统误差,。例如仪器的刻度误差和零位误差，或值随温度变化的误差。,误差来源,仪器的制造、安装或使用方法不正确，环境因素（温度、湿度、电源等）影响，测量原理中使用近似计算公式，测量人员不良的读数习惯等。,(2),系统误差,6,定量定义,在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与,被测量的真值,之差。,(2),系统误差,7,定义,粗大误差是一种显然与实际值不符的误差。,产生原因,测量操作疏忽和失误,如测错、读错、记错以及实验条件未达到预定的要求而匆忙实验等。,测量方法不当或错误,如用普通万用表电压档直接测高内阻电源的开路电压,测量环境条件的突然变化,如电源电压突然增高或降低，雷电干扰、机械冲击等引起测量仪器示值的剧烈变化等。,处理方法：,剔除！,(3),粗大误差,8,3.1.2,测量结果的表征,(1),准确度,表示系统误差的大小。,(2),精密度,表示随机误差的影响。,(3),精确度,用来反映系统误差和随机误差的综合影响。,The End,9,3.2,测量误差的估计和处理,3.2.1,随机误差的统计特性及减少方法,随机误差的处理方法：,数理统计,。,基本内容：,(1),随机误差的分布规律,(2),有限次测量的数学期望和标准偏差的估计值,(3),测量结果的置信问题,10,随机变量的数字特征,数学期望,：反映测量结果的平均特性,离散型,：,p,i,为概率,方差和标准偏差,：描述随机变量与其数学期望的分散程度,方差,：,标准偏差,：,(1),随机误差的分布规律,D(X)=E(X,E(X),2,11,随机变量的正态分布,测量中的随机误差通常是多种相互独立的因素造成的许多微小误差的总和。,中心极限定理,：假设被研究的随机变量可以表示为大量独立的随机变量的和，其中每一个随机变量对于总和只起微小作用，则可认为这个随机变量服从,正态分布,。,(1),随机误差的分布规律,12,随机误差和测量数据的分布形状相同，因为它们的标准偏差相同，只是横坐标相差,随机误差性质,：,对称性,单峰性,有界性 抵偿性,(1),随机误差的分布规律,13,有限次测量的数学期望的估计值,算术平均值,规定：,使用算术平均值为数学期望的估计值，并作为,最后的测量结果,。,理论依据,：算术平均值是数学期望的无偏估计值、一致估计值和最大似然估计值。,(2),有限次测量的数学期望和标准偏差的估计值,14,有限次测量数据的,标准偏差的估计值,(2),有限次测量的数学期望和标准偏差的估计值,算术平均值,：,残差：,实验标准偏差,（,标准偏差的估计值），贝塞尔公式：,算术平均值标准偏差的估计值,：,15,解：平均值,用公式,计算各测量值残差列于上表中,实验偏差,标准偏差,【,例,3.1,】,用温度计重复测量某个不变的温度，得,11,个测量值的序列（见下表）。求测量值的平均值及其标准偏差。,16,3.2.1,粗大误差及其判断准则,大误差出现的概率很小，列出可疑数据，分析是否是粗大误差，若是，则应将对应的测量值,剔除,。,1.,粗大误差产生原因以及防止与消除的方法,粗大误差的产生原因,测量人员的主观原因：操作失误或错误记录；,客观外界条件的原因：测量条件意外改变、受较大的电磁干扰，或测量仪器偶然失效等。,防止和消除粗大误差的方法,重要的是采取各种措施，防止产生粗大误差。,17,3.2.3,粗大误差及其判断准则（续）,2.,粗大误差的判别准则,统计学的方法的基本思想是：,给定一置信概率，确定相应的置信区间，凡超过置信区间的误差就认为是粗大误差，并予以剔除。,莱特检验法,格拉布斯检验法,式中，,G,值按重复测量次数,n,及置信概率,Pc,确定,式中，,S,为标准偏差的估计值。,18,应注意的问题：,所有的检验法都是人为主观拟定的，至今无统一的规定。当偏离正态分布和测量次数少时检验不一定可靠。,若有多个可疑数据同时超过检验所定置信区间，应逐个剔除，重新计算，再行判别。若有两个相同数据超出范围时，应逐个剔除。,在一组测量数据中，可疑数据应很少。反之，说明系统工作不正常。,19,解：,计算得,s=0.033,计算,残差填入表,3,7,，最大，是可疑数据。,用莱特检验法,3 s=30.033=0.099,故可判断 是粗大误差，应予剔除。,再对剔除后的数据计算得：,s,=0.016 3,s,=0.048,各测量值的残差,V,填入表,3,7,，残差均小于,3 s,故,14,个数据都为正常数据。,【,例,3.3】,对某电炉的温度进行多次重复测量，所得结果列于表,3,7(p120),，试检查测量数据中有无粗大误差。,The End,20,3.3,测量数据处理,3.3.1,有效数字的处理,1.,数字修约规则,由于测量数据和测量结果均是近似数，其位数各不相同。为了使测量结果的表示准确唯一，计算简便，在数据处理时，需对测量数据和所用常数进行修约处理。,数据修约规则：,（,1,）小于,5,舍去,末位不变。,（,2,）大于,5,进,1,在末位增,1,。,（,3,）等于,5,时，取偶数,当末位是偶数，末位不变；末位是奇数，在末位增,1,（将末位凑为偶数）。,21,3.3.1,有效数字的处理（续）,例：将下列数据舍入到小数第二位。,12.434412.43 63.7350163.74,0.694990.69 25.325025.32,17.695517.70 123.1150123.12,需要注意的是，舍入应一次到位，不能逐位舍入。,上例中,0.69499,，正确结果为,0.69,，错误做法是：,0.694990.69500.6950.70,。,在“等于,5”,的舍入处理上，采用取偶数规则，是为了在比较多的数据舍入处理中，使产生正负误差的概率近似相等。,22,3.3.1,有效数字的处理（续）,2.,有效数字,若截取得到的近似数其,截取或舍入误差的绝对值不超过近似数末位的半个单位,，则该近似数从左边第一个非零数字到最末一位数为止的全部数字，称之为有效数字。,例如：,3.142,四位有效数字，极限误差,0.0005,8.700,四位有效数字,，极限误差,0.0005,8.710,3,二位有效数字，极限误差,0.0510,3,0.0807,三位有效数字,，极限误差,0.005,23,3.3.1,有效数字的处理（续）,中间的,0,和末尾的,0,都是有效数字，不能随意添加。开头的零不是有效数字。,测量数据的绝对值比较大（或比较小），而有效数字又比较少的测量数据，应采用科学计数法，即,a10,n,，,a,的位数由有效数字的位数所决定。,测量结果（或读数）的有效位数应由该测量的不确定度来确定，即测量结果的最末一位应与不确定度的位数对齐。,例如，某物理量的测量结果的值为,63.44,，且该量的测量不确定度,u,0.4,，,测量结果表示为,63.40.4,。,24,3.3.1,有效数字的处理（续）,3.,近似运算法则,保留的位数原则上取决于各数中准确度最差的那一项。,（,1,）,加法运算,以小数点后位数最少的为准（各项无小数点则以有效位数最少者为准），其余各数可多取一位。例如：,（,2,）,减法运算,：当两数相差甚远时，原则同加法运算；当两数很接近时，有可能造成很大的相对误差，因此，第一要尽量避免导致相近两数相减的测量方法，第二在运算中多一些有效数字。,25,3.3.1,有效数字的处理（续）,（,3,）,乘除法运算,以有效数字位数最少的数为准，其余参与运算的数字及结果中的有效数字位数与之相等。例如：,也可以比有效数字位数最少者多保留一位有效数字。,例如上面例子中的,517.43,和,4.08,各保留至,517,和,4.08,，结果为,35.5,。,（,4,）,乘方、开方运算,运算结果比原数多保留一位有效数字。例如：,（,27.8,）,2,772.8(115),2,1.32210,4,26,3.3.2,测量数据的表示方法,1.,列表法,根据测试的目的和内容，设计出合理的表格。列表法简单、方便，数据易于参考比较，它对数据变化的趋势不如图解法明了和直观，但列表法是图示法和经验公式法的基础。,例：,x,0,2,4,6,8,10,12,y,1.5,12.1,19.1,31.3,42.1,48.6,59.1,27,3.3.2,测量数据的表示方法,2.,图示法,图示法的最大优点是形象、直观，从图形中可以很直观地看出函数的变化规律，如递增或递减、最大值和最小值及是否有周期性变化规律等。,作图时采用直角坐标或极座标。一般是先按成对数据（,x,，,y,）,描点，再连成光滑曲线，并尽量使曲线于所有点接近，不强求通过各点，要使位于曲线两边的点数尽量相等,28,3.,经验公式法,经验公式法就是通过对实验数据的计算，采用数理统计的方法，确定它们之间的数量关系，即,用数学表达式表示各变量之间关系,。有时又把这种经验公式称为数学模型。,类型,有些一元非线性回归可采用变量代换，将其转化为线性回归方程来解。,3.3.2,测量数据的表示方法（续）,一元线性回归,一元非线性回归,多元线性回归,多元非线性回归,变量个数,1,1,1,1,方次,1,1,1,1,y=,a+bx,29,3.3.3,建立经验公式的步骤,已知测量数据列,(,x,i,y,i,i,=1,2,n),建立公式的步骤如下：,（,1),将输入自变量,x,i,作为横坐标，输出量,y,i,即,测量值作为纵坐标，描绘在坐标纸上，并把数据点描绘成测量曲线。,（,2,）分析描绘的曲线，确定公式,y=f(x),的基本形式。,直线，可用一元线性回归方法确定直线方程。,某种类型曲线，则先将该曲线方程变换为直线方程，然后按一元线性回归方法处理。,如果测量曲线很难判断属于何种类型，这可以按曲线多项式回归处理。即：,（,3,）由测量数据确定拟合方程（公式）中的常量。,30,3.3.3,建立经验公式的步骤（续）,(4),检验所确定的方程的准确性。,用测量数据中的自变量代入拟合方程计算出函数值,y,计算拟合残差,计算拟合曲线的标准偏差,式中：,m,为拟合曲线未知数个数，,n,为测量数据列长度。,如果标准偏差很大，说明所确定的公式基本形式有错误，应建立另外形式公式重做。,31,作业,P144,题,3-4,32,