三垂线定理及逆定理的应用课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,三垂线定理及逆定理的应用,三垂线定理及逆定理的应用,1,例一：判断下列命题是否正确,（）若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在平面上的射影。,(),（）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行。,(),（,3,）若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则这两条直线在平面上的射影互相垂直。,(),错误,正确,正确,例一：判断下列命题是否正确错误正确正确,2,A,B,D,C,C,A,B,D,1,1,1,1,例二：在正方体 中：,猜想 和 具有什么特殊的位置关系？能否找到与 具有这种关系的其他面对角线吗？并简要证明。,证明：,ABDCCABD1111例二：在正方体,3,变题,:,是 上一动点，在平面 上能否作一条过点 的线段与 垂直？,是面 内一点，在平面 上能否作一条过点 的线段与 垂直？,A,B,C,A,B,C,D,1,D,1,1,1,P,.,.,F,分析：第一问：显见 过点 作 的平行线即可。第二问：找到 在面内的射影 ，过点 作射影的垂线段即可。,ABCABCD1D111P.F分析：第一问：显见,4,.,E,O,A,P,B,C,D,例三：,.EOAPBCD例三：,5,.,E,O,A,P,B,C,D,F,.EOAPBCDF,6,N,M,P,A,B,C,D,.,E,练习：已知，,PA,垂直于矩形,ABCD,所在平面，,M,、,N,分别是,AB,、,PC,的中点,求证：,MN AB,NMPABCD.E 练习：已知，PA垂直于矩形ABCD所在平,7,A,B,D,C,C,A,B,D,1,1,1,1,.,P,O,思考：在正方体 中，是 的中点，为底面 的中心。,求证：,分析：与 异面，、既可为平面的斜线，也可为平面内直线。关键在于平面的选择,射影的确定。,方法一：以 为平面，则 是平面的斜线，是平面内直线。由条件可知：平面 ，则 为 在平面 内的射影。根据三垂线定理，问题转化为证明 即可。,ABDCCABD1111.PO思考：在正方体,8,A,B,D,C,C,A,B,D,1,1,1,1,.,P,O,M,方法二：以 为平面，是平面的斜线，是平面内直线。由条件可知：平面 ，则 是 在平面内的射影，再构造出 平面 ，找到 在平面内的射影 。因此 是 在平面 内的射影，问题转化为证明 即可。,1,、不同平面的选择，不同射影的确定，使图形中构造“一面四线”有难有易。,2,、在空间的任一平面内，平几的公理、定理仍然成立。在解证立几问题时，灵活运用平几知识是十分重要的。,ABDCCABD1111.POM方法二：以,9,例一：在下列三个命题中，为真命题的共有（）,1,、如果一条直线和一条斜线在这个平面内的射影垂直，则这条直线和这条斜线垂直,2,、如果一条直线和一条斜线垂直，那么这条直线和斜线在这个平面内的射影垂直,3,、如果一条直线和一条斜线垂直，也和这条斜线在这个平面内的射影垂直，那么 这条直线在平面内，或者和平面平行,A.O,个,B.1,个,C.2,个,D.3,个,B,判断命题的真假，应严格按照三垂线定理及逆定理。,例一：在下列三个命题中，为真命题的共有（,10,A,B,C,E,F,(),A,ABCEF()A,11,引入：道路旁有一条河，河对岸有一嘹望塔，高,10,米。利用测角仪和皮尺，设计一个合理的方案测出塔顶与道路的距离。,A,B,l,C,D,分析：将道路、塔、河岸抽象为线段或直线。塔顶与道路的距离是点,A,到,L,的垂线段长，关键是垂足的确定。假设,AC,是距离，连结,BC,，由三垂线定理的逆定理：,BC l,。因此要确定垂足,C,，用测角仪测定,BC l,即可。问题转化为在,Rt ABC,中求,AC.,利用工具构造,Rt BCD,，求出,BC,，即得,AC,.,引入：道路旁有一条河，河对岸有一嘹望塔，高10米。利用测角仪,12,A,B,C,D,O,例二：四面体 中，,求证：,当题中具备了（构造后具备了）定理所需条件“一面四线”可用定理解题。,三垂线定理证明异面垂直，逆定理证明共面垂直。,分析：,AD,、,BC,是两条异面直线。即证两条异面直线垂直。根据三垂线定理，只需证明,AD,在平面,BCD,内的射影和,BC,垂直。因此可作,AO,平面,BCD,于,O,点，问题转化为证明,OD BC,。连结,BO,、,CO,，根据三垂线定理的逆定理可证：,BO CD,，,CO BD,，确定,O,是,BCD,的垂心，则,OD BC,得以解决。,ABCDO例二：四面体 中，,13,三垂线：反映了“一面四线”的三种垂直关系（垂线和平面、平面内的直线和平面的斜线、平面内的直线和射影）,实质：平面的一条斜线或其射影与平面内的一条直线垂直的判定定理。,应用：解决垂直问题和空间图形的度量问题。,三垂线：反映了“一面四线”的三种垂直关系（垂线和平面、平面内,14,