第二章-数控加工中的数学应用课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,0,15 十一月 2024,1,第二章 数控加工中的数学应用,目录,2.1 圆弧样条,2.1.1 圆弧样条的结构方法,2.1.2 圆弧样条的光顺处置,2.2 局部坐标下的分段三次样条,2.3 B样条简介,2.3.1 B样条的定义,2.3.2 B样条的几个重要性质,2.3.3 B样条曲线类型的划分,2.4 有理B样条曲线、曲面,2.4.1 NURBS曲线与曲面,2.4.2 NURBS曲线的定义,2.4.3 权因子的几何意义,2.4.4 非平均有理B样条NURBS曲面,2.5 抛物线拟合,2.6 曲线的2次迫近,2.1 圆弧样条,圆弧样条就是用圆弧这一最复杂的二次多项式模拟样条，分段组成一阶导数延续函数。圆弧样条是我国在1977年发明的一种拟合方法，在具有圆弧插补功用的数控系统中，采用圆弧样条可以直接输入圆弧信息，防止了用其他拟合方法还需停止二次迫近处置的进程，增加了误差环节。,2.1.1 圆弧样条的结构方法,圆弧样条是型值点Pixi,yi(i=1,2,.,n),过每一个Pi点作一段圆弧，且使相邻圆弧在相邻节点如Pi和Pi+1的弦平分线上相交并相切，那么使整条曲线在各衔接点处到达位置和切线的延续。如图2-1所示，圆弧段区分过点P1,P2,.,Pn-1,Pn，过点P1及P2的两段圆弧在P1P2弦平分线上相交并相切。这就是圆弧样条的结构方法。,2.1.2 圆弧样条的光顺处置,圆弧样条拟合时，规则过每一型值点Pii=0,1,.,n作一段圆弧。当曲线转机较大时，假设型值点给得较稀，能够出现型值点处曲率变号状况，这时拟合出的曲线能够出现拐点。为了防止这一现象，通常限制 和 的比值,假定超出此范围，那么可在Pi和Pi+1点之间加密一个点。补加点可取在Pi、Pi+1处弦切角 和 组成的三角形内心上，也可取在PiPi+1的中垂线上。拔出补加点后，要重排点的次第，重新停止计算。下面是补加点在中垂线上时的计算进程。,如下图，在局部坐标系中，补加点 的坐标为,设PiPi+1与参考坐标系中x轴的夹角为 时，有,在参考坐标系中，补加点 的坐标为,2.2 局部坐标下的分段三次样条,这一拟合方法是在给定的每两相邻值点间树立局部坐标系内的三次曲线方程，经过迭代使每两个中间型值点左右两端曲线达位置及切线延续，且点点经过型值点。这样求出来的曲线延续且与实践要求的曲线误差较小。,2.3 B样条简介,Bezier曲线或曲面有许多优越性，但有两点缺乏：,Bezier曲线或曲面不能作局部修正；,Bezier曲线或曲面的拼接比拟复杂,1972年，Gordon、Riesenfeld等人开展了1946年Schoenberg提出的样条方法,提出了B样条方法，在保管Bezier方法全部优点的同时，克制了Bezier方法的弱点。,2.3.1 B样条的定义,如何了解B-样条？,样条插值，三对角方程 (函数、参数),给定分划，一切的B样条的全体组成一个线性空间，线性空间有基函数，这就是B样条基函数,由B样条基函数替代Bezier曲线中的Bernstein基函数，即B样条曲线。,B样条曲线的方程定义为：,是控制多边形的顶点,(i=0,1,.,n)称为k阶k-1次)B样条基函数,B样条基函数是一个称为节点矢量的非递减的参数t的序列所决议的k阶分段多项式，也即为k阶k-1次)多项式样条。,德布尔和考克斯de Boor&Cox递推定义,并商定,2.3.2 B样条的几个重要性质,局部性。k 阶B样条曲线上参数为 的一点至少与k个控制顶点 有关，与其它控制顶点有关；移动该曲线的第i个控制顶点Pi至少影响到定义在区间 上那局部曲线的外形，对曲线的其他局部不发作影响。,局部支承性,延续性,P(t)在r重节点处的延续阶不低于 k-1-r。,凸包性,P(t)在区间 上的局部位于k个点 的凸包 内，整条曲线那么位于各凸包 的并集之内。,权性,分段参数多项式,P(t)在每一区间上都是次数不高于k-1的参数t的多项式,导数公式,微分公式,2.3.3,B样条曲线类型的划分,B样条曲线类型的划分,曲线按其首末端点能否重合，区分为闭曲线和开曲线。,B样条曲线按其节点矢量中节点的散布状况，可划分为四种类型。,平均B样条曲线,节点矢量中节点为沿参数 轴平均或等距散布，一切 节点区间长度为常数。这样的节点矢量定义了平均的B样条基。,准平均B样条,与平均B样条曲线的差异在于两端节点具有重复度k，这样的节点矢量定义了准平均的B样条基。平均B样条曲线没有保管Bezier曲线端点的几何性质，即样条曲线的首末端点不再是控制多边形的首末端点。采用准平均的B样条曲线处置了这个效果,分段Bezier曲线,节点矢量中两端节点具有重复度k，一切内节点重复度为k-1，这样的节点矢量定义了分段的Bernstein基。,B样条曲线用分段Bezier曲线表示后，各曲线段就具有了相对的独立性，移动曲线段内的一个控制顶点只影响该曲线段的外形，对其它曲线段的外形没有影响。并且Bezier曲线一整套复杂有效的算法都可以原封不动地采用。缺陷是添加了定义曲线的数据，控制顶点数及节点数。,非平均B样条曲线,恣意散布的节点矢量 ，只需在数学上成立节点序列非递减，两端节点重复度k，内节点重复度k-1都可选取。这样的节点矢量定义了非平均B样条基。,2.4 有理B样条曲线、曲面,给定参数轴u和v的节点矢量,p,q阶B样条曲面,定义如下,构成一张控制网格，称为B样条曲面的特征网格。和 是B样条基，区分由节点矢量U和V按deBoor-Cox递推公式决议。,2.4.1,NURBS曲线与曲面,B样条曲线包括其特例的Bezier曲线都不能准确表示出抛物线外的二次曲线，B样条曲面包括其特例的Bezier曲面都不能准确表示出抛物面外的二次曲面，而只能给出近似表示。,提出NURBS方法，即非平均有理B样条方法主要是为了找到与描画自在型曲线曲面的B样条方法既相一致、又能准确表示二次曲线弧与二次曲面的数学方法。,NURBS方法的主要优点,既为规范解析外形(即前面提到的初等曲线曲面)，又为自在型曲线曲面的准确表示与设计提供了一个公共的数学方式,修正控制顶点和权因子，为各种外形设计提供了充沛的灵敏性。,具有清楚的几何解释和强有力的几何配套技术,对几何变换和投影变换具有不变性。,非有理B样条、有理与非有理Bezier方法是其特例。,运用NURBS中还有一些难以处置的效果：,比传统的曲线曲面定义方法需求更多的存储空间,权因子选择不当会惹起畸变,对搭接、堆叠外形的处置很费事。,反求曲线曲面上点的参数值的算法，存在数值不动摇效果(MAF方法),2.4.2,NURBS曲线的定义,NURBS曲线是由分段有理B样条多项式基函数定义的,Ri,k(t)具有k阶B样条基函数相似的性质：,局部支承性：Ri,k(t)=0，tti,ti+k,权性：,可微性：假设分母不为零，在节点区间内是有限次延续可微的，在节点处(k-1-r)次延续可导，r是该节点的重复度。,假定i=0，那么Ri,k(t)=0；,假定i=+，那么Ri,k(t)=1；,NURBS曲线与B样条曲线具有相似的几何性质：,局部性质。,变差减小性质。,凸包性。,在仿射与透射变换下的不变性。,在曲线定义域内有与有理基函数异样的可微性。,假设某个权因子为零，那么相应控制顶点对曲线没有影响。,假定 ，那么当 时，,非有理与有理Bezier曲线和非有理B样条曲线是NURBS曲线的特殊状况,2.4.3,权因子的几何意义,假设固定曲线的参数t，而使 变化，那么NURBS曲线方程变成以 为参数的直线方程，即NURBS曲线上t值相反的点都位于同不时线上。,区分是 对应曲线上的点，即,N，Bi可表示为：,(Pi，Bi，N，B)四点的交比,1假定i增大或减小，那么也增大或减小，所以曲线被拉向或推分开Pi点；,2假定j增大或减小，曲线被推离或拉向Pjji。,2.4.4 非平均有理B样条NURBS曲面,NURBS曲面的定义,规则四角点处用正权因子，即 ，其他 。,NURBS曲面的性质,与非有理B样条基函数相相似的性质：,局部支承性质,权性,可微性.在重复度为r的u节点处沿u向是p-r-1次延续可微，在重复度为r的v节点处沿v向是q-r-1次延续可微,极值.假定p，q1，恒有一个极大值存在,是双变量B样条基函数的推行,2.5 抛物线拟合,抛物线拟合是美国福特汽车公司奥维豪瑟在1986年宣布的一种方法，用于配有普通2次曲线插补装置的数控设备。关于给定的型值点和端点条件，普通样条采用全体拟合法，树立方程组，然后解出各节点的延续条件，得出整条曲线的分段函数。抛物线拟合法是一种局部方法，被拟合曲线可以逐段延伸，不时给出数据，便于修正和停止计算机交互图形设计。,2.6 曲线的2次迫近,采用以上方法拟合曲线，可以称之为一次拟合，而数控机床及绘图机上，普通具有直线插补或圆弧插补功用；加工时输入结果是以直线或圆弧方式给出的，因此需停止曲线的2次迫近。,直线迫近,用直线去迫近曲线，其迫近误差直接影响加工精度，必需依据工程上的需求，将误差控制在允许的范围内。,双圆弧迫近,在数控加工中，用两段圆弧去迫近所要构成的3次曲线，称之为双圆弧迫近，即在每两相邻型值点之间，应用样条函数的节点斜率，作两端相切的圆弧来替代原来的一段样条曲线。,