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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第4章 矩阵的因子分解,4.1 初等矩阵,4.2 满秩分解,4.3 三角分解,4.4 QR分解,4.5 Schur定理与正规矩阵,4.6 奇异值分解,第4章 矩阵的因子分解4.1 初等矩阵4.2 满秩分解4,1,4.1 初等矩阵,4.1.1 初等矩阵,4.1.2 初等下三角矩阵,4.1.3 Householder矩阵,4.1 初等矩阵4.1.1 初等矩阵4.1.2 初等下三角,2,4.1.1,初等矩阵,定义4.1.1,设 ，,为一复数，如下形式的,矩阵,称为,初等矩阵.,4.1.1 初等矩阵定义4.1.1 设,3,定理4.1.1,初等矩阵,E,(,u,v,)具有如下性质：,定理4.1.1 初等矩阵E(u,v,)具有如下性质：,4,4.1.2,初等下三角矩阵,称为,初等下三角矩阵,即,4.1.2 初等下三角矩阵称为初等下三角矩阵,即,5,对初等下三角矩阵，当,i,j,时，有,用初等下三角矩阵,L,i,左乘一个矩阵,A,，等于从,A,的,第,k,行减去第,i,行乘以 。,对于 ，如果 ，取,对初等下三角矩阵，当i 0,则存在,m,r,矩阵,B,和,r,n,矩阵,C,使得,并且,rank,(,B,)=,rank,(,C,)=,r.,什么是矩阵的满秩分解？,矩阵的满秩分解是否存在？如果存在，满秩,分解是否唯一？,如何计算矩阵的满秩分解？,满秩分解有什么应用？,满秩分解的应用：,有关结论的证明。,计算广义逆矩阵。,4.2 满秩分解定理4.2.1（满秩分解定理）设 mn,9,4.3 三角分解,设,A,=(,a,ij,)是,n,阶矩阵，如果,A,的对角线下(上)方,的元素全为零，即对,i,j,a,ij,=0（对,i,j,a,ij,=0），则,称矩阵,A,为,上（下）三角矩阵,。上三角矩阵和下三角,矩阵统称为,三角矩阵,。对角元全为1的上（下）三角,矩阵称为,单位上（下）三角矩阵,。,什么是矩阵的LU分解？,矩阵的LU分解是否存在？如果存在，LU分解,是否唯一？,如何计算矩阵的LU分解？,LU分解有什么应用？,上（下）三角矩阵的性质,4.3 三角分解 设A=(aij)是n,10,定理4.3.1,（,LU分解定理,）,设,A,是,n,阶非奇异矩,阵，则 存在唯一的单位下三角矩阵,L,和上三角矩,阵,U,使得,的充分必要条件是,A,的所有顺序主子式均非零,即,定理4.3.1（LU分解定理）设 A 是 n 阶非奇异矩的,11,定理4.3.2,（,LDU分解定理,）,设,A,是,n,阶非奇异矩阵,则存在唯一的单位下三角矩阵,L,，对角矩阵,D,=,diag,(,d,1,d,2,d,n,)和单位上三角矩阵,U,使得,的充分必要条件是,A,的所有顺序主子式均非零，即,，并且,分解式 称为矩阵,A,的,LDU分解,。,一般说来，即使,A,是,n,阶非奇异矩阵，,A,未必,能作LU分解和LDU分解。,定理4.3.2（LDU分解定理）设A是n阶非奇异矩阵,的充分,12,定义4.3.1,设,e,i,是,n,阶单位矩阵的第,i,列(,i,=1,2,n)，,以 为列作成的矩阵 称为,n,阶,排列矩阵,，其中 是1,2,n的一个排列。,定理4.3.3,设,A,是,n,阶非奇异矩阵，则存在排列,矩阵,P,使得,其中,L,是单位下三角矩阵,是上三角矩阵，,U,是,单位上三角矩阵，,D,是对角矩阵。,排列矩阵的性质。,排列矩阵的作用。,定义4.3.1 设ei是n 阶单位矩阵的第i列(i=1,2,13,LU分解的应用：,求解线性方程组。,求解矩阵特征值问题。,LU分解的应用：求解线性方程组。求解矩阵特,14,4.4 QR 分解,定理4.4.1,设,A,是,n,阶非奇异实（复）矩阵，则,存在正交（酉）矩阵,Q,和非奇异实（复）上三,角矩阵,R,使得,且除去相差一个对角元绝对值(模)全等于1的对角,矩阵因子外分解式（4.4.1）是唯一的。,什么是矩阵的QR分解？,矩阵的QR分解是否存在？如果存在，QR分解,是否唯一？,如何计算矩阵的QR分解？,QR分解有什么应用？,4.4 QR 分解定理4.4.1 设 A是 n 阶非奇异,15,定理4.4.3,设,A,是 矩阵，且 ，,则存在,m,阶正交（酉）矩阵,Q,和 行满秩矩,阵,R,使得,或A有分解,定理4.4.2,设,A,是 实（复）矩阵，且其,n,个,列向量线性无关，则存在,m,阶正交（酉）矩阵,Q,和,n,阶非奇异实（复）上三角矩阵,R,使得,定理4.4.3 设A 是 矩阵，且,16,QR分解的应用：,求解线性方程组。,求解矩阵特征值问题。,求解线性最小二乘问题。,QR分解的应用：求解线性方程组。求解矩阵特,17,4.5 Schur定理与正规矩阵,定义4.5.1,则称,A,正交（酉）相似于,B。,定理4.5.1(Schur定理),任何一个,n,阶复矩阵,A,都酉相,似于一个上三角矩阵，即存在一个,n,阶酉矩阵,U,和,一个,n,阶上三角矩阵,R,使得,其中,R,的对角元是,A,的特征值，它们可以按要求的,次序排列。,4.5 Schur定理与正规矩阵定义4.5.1则称A正交（,18,定义4.5.2,则称,A,为正规矩阵。,定理4.5.2,n,阶矩阵,A,酉相似于一个对角矩阵的充分,必要条件为,A,是正规矩阵。,推论4.5.1,若,A,是,n,阶Hermite矩阵，则,A,必酉相似于,实对角矩阵，即存在,n,阶酉矩阵,U,使得,(4.5.6)式称为Hermite,矩阵,A,的谱分解式,。,定义4.5.2则称A为正规矩阵。定理4.5.2 n 阶矩,19,定理4.5.3,设,A,，,B,均为,n,阶正规矩阵，并且,AB,=,BA,，,则存在,n,阶,酉矩阵,U,使得,与 同时为对角,矩阵。,定理,4.5.,4,任何,n,阶实矩阵,A,都正交相似于一个拟上三,角矩阵，即存在一个,n,阶正交矩阵,Q,和一个,n,阶拟上三角,矩阵,R,使得,其中,R,是块上三角矩阵（或称,拟上三角矩阵,）,其对角,块为1阶块或2阶块,每个1阶块是,A,的实特征值,而每个,2阶块的两个特征值是,A,的一对共轭复特征值,且,R,的对,角块可以按要求的次序排列。,定理4.5.3 设A，B 均为n 阶正规矩阵，并且AB=,20,推论4.5.2,若,A,是,n,阶实对称矩阵，则,A,正交相似于实,对角矩阵，即存在,n,阶正交矩阵,Q,使得,推论4.5.2 若 A是n 阶实对称矩阵，则 A正交相似于,21,4.6 奇异值分解,4.6 奇异值分解,22,定义4.6.1,则称,为,A,的,奇异值,，,u,和,v,分别称为,A,对应于奇异值,的,右奇异向量,和,左奇异向量,。,由(4.6.2)可得,定义4.6.1则称为A的奇异值，u 和v 分别称为A对应于,23,定理4.6.1,若,A,是正规矩阵，则,A,的奇异值是,A,的特征,值的模。,定理4.6.2,设,A,是 矩阵，且rank(,A,)=,r,，则存在,m,阶酉矩阵,V,和,n,阶酉矩阵,U,使得,(4.6.5)称为矩阵,A,的,奇异值分解.,奇异值分解的计算,奇异值分解的应用,定理4.6.1 若A是正规矩阵，则 A的奇异值是A的特征定,24,
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