非齐线性微分方程组

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,5.2 General Theory of Linear ODEs,非齐线性微分方程组,性质,2,是,(5.14),的任意两个解，,是,(5.14)对应齐次线性方程组,如果,则,(5.15)的解。,都可以,定理7,设,是,(5.15),的基解矩阵，,是,(5.14)的某,一解，则,(5.14),的任一解,这里,c,是确定的常数列向量。,(5.23),是(5.14),的任一解，,是齐次方程组(5.15)的解，因此存在常列向量,c,，,使得,证明,表示为:,已知,(5.15),的基解矩阵 ，则可用,常数变易法,求,的解，则,(5.25),为了寻求(5.14)的通解，只要知道(5.14)对应齐的,齐线性方程组(5.15)的,基解矩阵,和,自身的一个解即可。,假设(5.14)存在形如,(5.14)的特解,而,(5.24),这样，(5.24)变为,如果,(5.14),有一个形如,(5.24),的解 ,则,(5.26),由(5.26)决定。,反之易证明由(5.26)决定的向量函数,一定是(5.14)的解。,(5.26),一定是(5.14)的解。,反之易证明由(5.26)决定的向量函数,定理8,是,(5.15),的基解矩阵，则向量函数,(5.27),如果,是(5.14)的解，且满足初始条件,(5.14)满足初始条件,的解是,(5.26),(5.14)通解,例2,试求下面初值问题的解,解,基解矩阵,课堂练习：,试求下面初值问题的解,分析常数变易法,/Analytic of Unknown Function Method/,(5.25),是(5.14),的满足,的解。,推论3,是区间,上的连续函数，,是对应齐次方程,的基本解组，那么，非齐次线性方程（,5.28,）,(5.21),(5.28),如果,满足初始条件,的解为,应用到n阶线性方程,(5.29),(5.28)的常数变易公式是,(5.28),的通解可以表示为,思考,1 推论3的推导过程,2 到目前为止,n,阶线性方程求特解的方法有多少？,当,n,=,2,时，公式,(5.29),就是,因此，当,n=2,时常数变易公式变为,而通解就是,这里 任意常数。,(5.31),(5.32),利用公式(5.31)来求方程的一个解，,例,3,解,的一个特解。,试求方程,易知对应的齐线性方程,的基本解组为,注意，因为sint是对应的齐线性方程的解，所以函数,也是原方程的一个解。,作业,P.202,第6,8，9(a)题。,求,齐次线性方程组,的解的另一方法：,消元法,保留一个未知函数,x,1,，消掉另一个未知函数,x,2,求,非齐次线性方程组,的另一方法：,消元法,保留一个未知函数,x,1,，消掉另一个未知函数,x,2,利用消元法，求下列方程组的通解,练习：,