数学物理方法期末复习

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,教 材,：,梁昆淼编写的,数学物理方法,第四版,内 容,第一篇,复变函数论,第二篇,数学物理方程,数 学 物 理 方 法,第一章 复变函数,1,、复数的定义,一、复数,实部,：,虚部,：,模,：,辐角,：,主辐角：,共轭复数,:,三角式,指数式,代数式,重点：复数三种表示式之间的转换！,2,、复数的运算,:,加、减、乘、除、乘方、开方,(1),、加法和减法,(2),、乘法和除法,(2),、乘法和除法,两复数相除就是把模数相除,辐角相减。,两复数相乘就是把模数相乘,辐角相加,;,(3),复数的乘方和,开方（,重点掌握,）,或,(,n,为正整数的情况,),复数的乘、除、乘方和开方运算，采用三角式,或指数式往往比代数式来得方便,。,棣莫弗公式,：,二、六种初等复变函数,：,1.,幂函数,2,.,指数函数,周期为,2,i,，,3.,三角函数,周期为,2,4,、双曲函数,5,、根式函数,周期为,2,i,6,、对数函数,例,1,：,已知 ，则,。,例,2,：复数,e,z,的模为,，辐角为,.,例,3,：,已知 ，表示成指数形式为：,。,例,4,：,已知 或 ，可以化简：,为：,或,。,三、解析函数,1,、柯西,-,黎曼方程,直角坐标系：,极坐标系：,2,、解析函数性质：,(1),、若 是解析函数，则 。,(2),、若函数 在区域,B,上解析，则,u,和,v,必为,B,上的,相互共轭调和函数,。,第五章 傅里叶变换,一、傅里叶级数,1,、周期函数,(,T,=2,l,),的傅里叶展开,一般周期函数：,(5.1.3),、,(5.1.5),；,P69-70,奇函数：,(5.1.8),、,(5.1.9),；,P71,偶函数：,(5.1.10),、,(5.1.11),；,P71,傅里叶正弦级数,傅里叶余弦级数,傅里叶级数,2,、定义在有限区间,(0,l,),上的函数的傅里叶展开,对函数,f,(,x,),的边界,（,区间的端点,x,=0,x,=,l,）,上的行为提出,限制，即满足一定的边界条件，这常常就决定了如何延拓。,(1),、,边界条件为,f,(0)=0,f,(,l,)=0,应延拓成以,2,l,为周期的奇函数,(,奇延拓,),(2),、,边界条件为,应延拓成以,2,l,为周期的偶函数,(,偶延拓,),(3),、,边界条件为,根据边界条件,f,(0)=0,应将函数,f,(,x,),对区间,(0,l,),的端点,x,=0,作奇延拓。,又根据边界条件 ，应将函数,f,(,x,),对区间,(0,l,),的端点,x,=,l,作偶延拓，,然后以,4,l,为周期向整,个实轴延拓，延拓以后的函数是,以,4,l,为周期的奇函数,。,(4),、,边界条件为,又根据边界条件,f,(,l,)=0,，应将函数,f,(,x,),对区间,(0,l,),的端点,x,=,l,作奇延拓，,然后以,4,l,为周期向整,个实轴延拓，延拓以后的函数是,以,4,l,为周期的偶函数,。,根据边界条件,应将函数,f,(,x,),对区间,(0,l,),的端点,x,=0,作偶延拓。,重点掌握：,及 在四种不同边界条件下如何展开成傅 立叶级数！,（下表格的内容必须熟记！）,边界条件,延拓方式,周期,级数,系数,定解问题,泛定方程,定解条件,初始条件,:,说明物理现象初始状态的条件,边界条件,:,说明边界上的约束情况的条件,波动方程,输运方程,稳定场方程,第七章 数学物理定解问题,衔接条件,（必须掌握）,杆或弦的振动：,表示初始的位移,表示初始的速度,初始条件：,给出某一初始时刻,整个系统,的已知状态。,P122,在,热传导现象,中，初始条件就是给出初始时刻,系统中每点的,温度,u,之值。,其中,T,(,r,),是已知函数。,例：,P122,图,7-8,(1),、杆或弦两端固定,常见的边界条件：,边界条件：,给出系统的边界在,各个时刻,的已知状态。,三类线性边界条件：,P124,(1),、第一类边界条件：,(2),、第二类边界条件：,(3),、第三类边界条件：,(2),、杆两端自由,(3),、杆的两端保持恒温,T,(4),、两端绝热,0,x,(5),、两端有热流强度为,f,(,t,),的热流流出,0,x,l,f,(,t,),f,(,t,),在,x,=0,端,:,在,x,=,l,端,:,同理得，两端有热流强度为,f,(,t,),的热流,流入,，则,重点掌握：,P128,习题,1,、,2,、,3,数学物理定解问题的适定性,:,(1),解的存在性,看所归结出来的定解问题是否有解；,(2),解的唯一性,看是否只有一个解,(3),解的稳定性,当定解问题的,自由项,或定解条件有微小变化时，,解是否相应地只有微小的变化量,定解问题解的,存在性,、,唯一性,和,稳定性,统称为,定解问题的适定性,.,注：,对于均匀弦或均匀杆的振动问题，要表示为定解问题，需要写出相应的波动方程、初始条件以及边界条件！（初始条件有,2,个）,对于热传导以及浓度分布的扩散问题，,要表示为定解问题，需要写出相应的输运方程、初始条件以及边界条件！,（初始条件只有,1,个）,解定解问题三步曲：,（,1,）写出正确的定解问题；,（,2,）边界条件齐次化；,（,3,）求解,傅氏级数法或,分离变数法,.,第八章 分离变数法,分离变数法,齐次的振动方程和输运方程,齐次的边界条件,傅里叶级数法,齐次或非齐次的,振动方程和输运,方程,齐次的边界条件,一、分离变数法解题步骤,(1),对齐次方程和齐次边界条件分离变量；,(2),解关于空间因子的常微分方程的本征值问题；,(3),求其它常微分方程的解，与本征函数相乘，得到本征解。,(4),迭加所有本征解，由初始条件或非齐次边界条件,确定迭加系数，最后得到所求定解问题的解。,注：熟练掌握波动方程和输运方程在不同齐次边界条件下分离变数得到的本征值问题，相应的本征值和本征函数必须熟记！波动方程、输运方程在不同边界条件下的一般解以及二维拉普拉斯方程的一般解也必须熟记！,P160,习题,1,、,7,、,16,例,1,：,用分离变数法求定解问题,先以分离变数形式的试探解,解：,代入泛定方程,(1),和边界条件,(2),，得,(1),(2),(3),本征值问题,本征值：,本征函数：,其通解为,相应的本征解,一般解是所有本征解的线性迭加，,(4),一般解是所有本征解的线性迭加，,代入初始条件，,(4),例,2,：,用分离变数法求定解问题,(1),(2),(3),先以分离变数形式的试探解,解：,代入泛定方程,(1),和边界条件,(2),，得,本征值问题,本征值：,本征函数：,其通解为,相应的本征解,一般解是所有本征解的线性迭加，,代入初始条件，,所求的定解问题的解为：,运用傅氏级数法求定解问题，要注意在不同,齐次边界条件下，所求定解问题的解展开为不同形,式的傅里叶级数,，,二、傅里叶级数法,三、熟练掌握如何把非齐次边界条件齐次化：,(1),、若是第一类非齐次边界条件,可设,可将,w,(,x,t,),的边界条件齐次化。,引入辅助函数,v,(,x,t,),，令,u,(,x,t,)=,v,(,x,t,)+,w,(,x,t,),，,使,v,(,x,t,),满足非齐次边界条件，可将函数,u,(,x,t,),满足的非齐次,边界条件的定解问题,变换为函数,w,(,x,t,),满足的齐次边,界条件的定解问题,。,P173 8.3.4,可设,可将,w,(,x,t,),的边界条件齐次化,(3),、若是第一、二类非齐次边界条件,或,可设,可将,w,(,x,t,),的边界条件齐次化。,(2),、若是第二类非齐次边界条件,P173 8.3.10,(4),、特殊处理方法,取特殊的,v,(,x,t,),，令,u,(,x,t,)=,v,(,x,t,)+,w,(,x,t,),，,使得,w,(,x,t,),的边界条件齐次化，同时关于,w,(,x,t,),的泛定方程也变成齐次方程！,重点掌握：,补充例题、,P175,习题,1,、,4,第九章 二阶常微分方程级数解法本征值问题,一、球坐标系中的拉普拉斯方程,熟练掌握将上式分离为三个常微分方程的方法，并能写出各自的通解！（区别连带勒让德方程和勒让德方程）,二、球坐标系中的拉普拉斯方程,熟练掌握将上式分离为三个常微分方程的方法，并能写出各自的通解！（区别贝塞尔方程和虚宗量贝塞尔方程）,1,、掌握勒让德方程本征值问题的解及其性质,(1),l,阶勒让德方程与自然边界条件构成本征值问题,(,自然边界条件,),本征值问题,本征值,是,l,(,l,+1),本征函数,则是,l,阶勒让德多项式,P,l,(,x,),勒让德方程的解。,（,注：熟记几个特殊值！,）,第十章 球函数,(2),勒让德多项式的性质,1),、,正交性,不同阶的勒让德多项式在区间,(-1,1),上正交，,2),、勒让德多项式的模,3),、勒让德多项式的全体构成完备组,如何将一个定义在,x,的区间,-1,1,上的函数,f,(,x,),展开成,广义傅里叶级数,：,一般公式：,展开系数,待定系数法（熟练掌握,的展开方法）,仅适用于,f,(,x,),是关于,x,的次幂的多项式,(3),勒让德多项式的母函数,母函数,以半径为,R,的球代替单位球，则,2,、,掌握关于极轴对称拉,氏方程在球坐标系下的解：,关于轴对称的拉氏方程的定解问题的通解为,对球内轴对称问题,自然边界条件：,取,B,l,=0,，,应排除,例,1,、,解：,边界条件与,无关，以球坐标的极轴为对称轴。,此定解问题是轴对称情况下的球内问题，故,代入边界条件,P231,例,3,左边是广义的傅里叶级数，所以用待定系数法将右,边函数,x,2,展开为广义的傅里叶级数，,比较左右两端，得,解得，,比较左右两边系数，得,3,、掌握连带勒让德方程本征值问题的解及其性质,(1),l,阶连带勒让德方程与自然边界条件构成本征值问题,(,自然边界条件,),本征值问题,本征值,是,l,(,l,+1),本征函数,则是连带勒让德多项式,连带勒让德方程的解。,（,2,）掌握关于非轴对称拉,氏方程在球坐标系下的解：,关于非轴对称的拉氏方程的定解问题的通解为：,对球内非轴对称问题，,自然边界条件：,取 ，,应排除,