第十二章 非正弦周期电流电路

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十二章 非正弦周期电流电路和信号频谱,重点:,1.,非正弦周期量的有效值和平均功率,2.,谐波分析法,12.1 非正弦周期信号,概述：,前几章研究正弦稳态分析。生产和科学实验中通常还会遇到按非正弦周期规律变化的电压、电流。例如：,1.,交流发电机理论上是正弦波形，严格讲是非正弦周期波。,2,.通讯工程传输的各种信号大多数是按非正弦规律变化的。,3.,自动控制和计算机领域中用到的脉冲信号也都是非正弦波。,T,t,i,0,t,u,0,T,4.在正弦电源鼓励下，假设电路中有非线性元件，也会产生非,正弦周期电压电流。,例：,i,u,1,+,D,u,2,+,R,0,u,2,t,T,2T,0,i,t,分析方法：谐波分析法,非正弦周期鼓励电压源或电流源可展开为傅里叶级数，每一项相当于一个分量。根据叠加定理，把非正弦周期电路分解成一系列不同频率的正弦电路，对其中每个频率的正弦电路都使用相量法分析，并将结果写成电压电流的瞬时表达式，最后将不同频率的瞬时表达式叠加起来就得到非正弦周期电流电路的解 谐波分析法。,本章研究的主要内容：,非正弦周期鼓励作用下，线性电路的稳态分析。,12.2,周期函数分解为傅里叶级数,周期函数 f(t)=f(t+kT),k=0,1,2,T 为周期。假设满足狄里赫利条件给定周期函数，在有限的区间内，只有有限个第一类间断点和有限个极大值和极小值。电工技术中所遇到的周期函数通常都满足这个条件，那么可展开成一个收敛的级数 傅里叶级数：,或：,(2),周期函数,f,(,t,)的展开式,1.周期函数的展开,(1),(1),(2),式系数之间的关系,(2),式中各项的专有名称及物理意义,A0 f(t)的恒定分量直流分量,一次谐波或基波分量，其周期、频率与,f,(,t,)相同。,按,k,值奇偶性分类，又称,奇次谐波,和,偶次谐波,。,(,k,2)称,高次谐波分量,。,(1),(2),系数的计算,例：,一周期函数的波形如图所表,求此信号的傅氏级数.,t,f(t),0,T,T/2,T,E,m,-,E,m,解：,f(t),在,一周期内的表达式为:,所以,=0,k,为偶数;,k,为奇数,2.频谱图,为表示一个周期函数分解成傅氏级数后包含那些频率分量和各分量所占的“比重,引入频谱图的概念。,1.幅度频谱：把长度正比于各次谐波振幅的线段谱线按频率上下依次排列。,2.相位频谱：把长度正比于各次谐波初相的线段谱线按频率上下依次排列。,由于频率是,1,的整数倍，所以称为离散频谱。,1,3,1,5,1,7,1,n,1,A,km,幅度频谱,0,3.由,f,(,t,)的对称性简化,a,k、,b,k,的计算,f,(,t,)为,偶函数，,即,f,(,t,),=,f,(,-,t,)，图形关于纵轴对称,-T/2,T/2,0,f,(,t,),t,理解：,展开式中只含,a,k,cos,k,1,t,项，偶函数展开仍为偶函数,f,(,t,)为,奇函数，,即,f,(,t,),=,-,f,(,-,t,)，图形关于原点对称,-T/2,T/2,0,f,(,t,),t,f,(,t,)=,f,(,t,+T/2)，称为,镜对称,，波形移动半个周期后与原波形对称于横轴。,T,T/2,0,f,(,t,),t,可以证明：,a,2,k,=0;,b,2,k,=0,即,展开式中只含,a,2,k,+1,、,b,2,k,+1,即,项，故称为,奇(次)谐波函数(,注意与奇函数的区别,)。,(2)函数的奇偶性与计时起点的选择有关，从而影响,a,k,，b,k,，,进而影响,k,，但,A,km,与计时起点选择无关。,(3)f(t)的波形越光滑，越接近正弦波，其展开级数收敛越快，实际计算中所取级数项就越少。当然这是在相同近似精度要求下进行比较的。,说明,：,(1)对称性分析可使函数的分解简化。书中例121，,f,(,t,)对称原点，,a,0,a,k,0，,f,(,t,)波形镜对称，,b,2,k,0，所以仅需计算,b,2,k,1,设非正弦周期电流为,那么,前已定义，周期电流的有效值,1.,有效值,12-3 有效值、平均值和平均功率,上式中展开,i,2,并积分，将含有如下的积分项：,故,对于非正弦周期电压,那么u 的有效值,2.平均值,周期电压电流均可如此定义,正弦电流的平均值,相当于全波整流后的平均值。用全波整流仪表测量周期电源电流读,平均值。,而磁电系（直流）仪表读,恒定分量,而电磁系（交流）仪表读,有效值,u,i,任意一端口,3.平均功率,容易分析,上式积分将含有如下的积分项：,=0,=0,可见，同频率的电压电流构成有功功率，总功率等于恒定分量构成的功率和各次谐波平均功率的代数和有源电路k 可能大于/2,例1.,已知无源一端口N的电压、电流分别为:,求,u,、,i,的有效值及端口N吸收的功率P。,解：,u,i,N,例2.,已知 R=1,以及,求N吸收的功率P。,解：,注意到：,R,u,u,i,N,12-4 非正弦周期电流电路的计算,分析方法,：,谐波分析法,谐波分析法的思想,：,对于非正弦周期电压源,+,_,等效为,问题,：,非正弦周期电源作用下，线性电路的稳态分析,+,+,_,_,+,_,u,S,作用下电路的响应，根据叠加定理为U,0,以及各次谐波,u,1,、,u,2,、单独作用时产生的响应的叠加。,对于非正弦周期电流源,等效为,i,S,作用下电路的响应，根据叠加定理为,I,0,以及各次谐波电流,i,1,、,i,2,、单独作用时产生的响应的叠加。,将非正弦周期电源展开为傅氏级数，这些非正弦周期电源在电路中产生的响应等于它们的直流分量及各次谐波分量分别作用时产生的响应的叠加。具体的步骤如下：,1.,将非正弦周期电源分解为傅氏级数，高次谐波取到哪一项为止，需根据计算的精度确定。,2.,根据叠加定理，将直流和各次谐波电源按频率分别作用，依次计算它们的响应。,a.对恒定分量按直流电阻电路计算电容开路，电感短路。注意电容上有直流电压，电感上有直流电流，叠加时勿忘。,b.,对各次谐波电路，均使用相量法计算。但需注意：感抗，容抗都是频率的函数，对某个频率电路可能发生谐振。,3.,将各次谐波解的瞬时值叠加得到非正弦周期电路的解。,例1：,图示电路(a)中,V,求各支路电流及,R,1,支路的平均功率。,解,：,(a),+,_,C,L,i当电源的直流分量U(0)单独,作用时，电路如图(b),那么,(b),_,+,U,(0),ii当电源的基波分量单独作,用时，电路如图(c),(c),+,_,iii当电源的三次谐波分量单独作用时，电路如图(d),(d),+,_,同理,或：,R,1,支路吸收的平均功率,V,例2：,图示如电路(a)，已知,求,u,C,。,解,：,u,C,L,i,s,u,S,+,C,+,R,(a),(b),U,0,+,U,C(0),+,R,U,C(0),=U,0,=20 V,iU0=20 V，I0=0 A，当电源的直流分量作用时，电路如图(b),ii当电源的基波分量作用 时,电路如图(c),L,+,C,+,R,(c),例3：,电路如图(a),已知,求电流,i,。,解：i当电源的直流分量作用时，,电路如图(b),(a),+,0.1F,2,1,u,s,i,s,0.2 H,i,(b),+,2,1,U,s,(0),I,(0),ii当电源的基波分量作用时，,电路如图(b),(b),+,2,1,iii当电源的二次谐波分量作用时，,电路如图(c),2,0.1,F,1,0.2,H,(c),例4：,电路如图(a),已知,L=1H,C,1,=0.01F,C,2,=0.03 F,求电压,u,(,t,),。,(a),+,_,5,5,L,C,1,C,2,+,_,u,(t),u,s,解,：,i电源的直流分量作用,ii电源的基波分量作用,L,C1并联等效阻抗,Z,(1),与C,2,串联,等效阻抗,故L,C1,C2局部发生串联谐振,有,iii电源的二次谐波分量作用,故L,C,1,发生病联谐振,所以,从而,例,5,u(t)是周期函数，波形如图，L=1/2 H，C=125/F，求理想变压器原边电流i1(t)及输出电压u2的有效值。,*,*,C,+,+,2:1,8,L,u,24,1,0.5,u/V,t/,ms,12,解,当,u,=12V,作用时，电容开路、电感短路，有：,*,*,-j4,+,+,2:1,8,j,+,8,j4,-j4,+,例,6,求,U,ab,、,i、,及功率表的读数。,+,60,j20,+,W,a,b,*,*,解,一次谐波作用时：,三次谐波作用时：,测的是,基波,的功率,复习,根本概念,直流电路,正弦稳态电路,根本分析方法,等效变换方法,系统分析方法,电路定理,电路的一般计算,功率的计算,相量图辅助分析,电路的谐振,互感电路的计算,三相电路的计算,非正弦周期电流电路的计算,含理想运放的电阻电路分析,根本分析,方法,等效变换方法:,系统分析方法:,电路定理：,电阻的串并联,Y,变换;,电源的串并联;,输入电阻:,三种方法,R,+,u,S,R,i,S,支路法；,回路法:,含受控源、无伴电流,源时的方程列写；,结点法:,含受控源、无伴电压,源时的方程列写；,叠加定理、戴维宁定理,含理想运放的电阻电路分析:,虚断和虚短,正弦稳,态电路,电路的一般计算：,阻抗和导纳,；,应用第二、三和第,四章的方法计算,功率的计算:P=UIcos,;P=I,2,R;,相量图辅助分析:,加强练习,电路的谐振:,谐振的概念及条件;RLC串联谐振;利,用LC 的串并联谐振的电路特征简化计,算谐振与互感,与非正弦周期电路结合;,互感电路计算:,三相电路的计算:,非正弦周期电流电路:,列写电路方程分析,；,消去互感法,；,注,意理想变压器原副边的电压电流关系,对称：Y,线相电压的关系；,线相电流的关系；功率的计算；功,率表读数的计算；,u,、,i,的有效值及P的计算；,谐波分析法；与谐振结合,