空间直角坐标系与空间向量及其运算讲课课件

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,第九章 立体几何初步,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,空间直角坐标系与空间向量及其运算,第一页，共34页。,（优选）空间直角坐标系与空间向量及其运算,第二页，共34页。,2,已知空间一点,M,的坐标为,(,x,，,y,，,z,),；,(1),与,M,点关于,x,轴对称的点的坐标为,_,；,(2),与,M,点关于,y,轴对称的点的坐标为,_,；,(3),与,M,点关于,z,轴对称的点的坐标为,_,；,(4),与,M,点关于面,xOy,对称的点的坐标为,_,；,(5),与,M,点关于面,xOz,对称的点的坐标为,_,；,(6),与,M,点关于面,yOz,对称的点的坐标为,_,；,(7),与,M,点关于坐标原点,O,对称的点的坐标为,_,_,(,x,，,y,，,z,),(,x,，,y,，,z,),(,x,，,y,，,z,),(,x,，,y,，,z,),(,x,，,y,，,z,),(,x,，,y,，,z,),(,x,，,y,，,z,),第三页，共34页。,二、空间向量及其运算,1,空间向量及其加减与数乘运算,(1),在空间中，具有,_,和,_,的量叫做向量,_,相同且,_,相等的有向线段表示同一向量或相等向,_ _,称为,a,的相反向量,(2),空间向量的有关知识实质上是平面向量对应的知识的推广，如有关的概念、运算法则、运算律等等,2,空间向量基本定理：如果三个向量,a,、,b,、,_,，那么对空间任一向量,p,，存在一个唯一的有序实数组,x,、,y,、,z,，使,_,，其中,a,，,b,，,c,叫做空间的一个,_,，,a,、,b,、,c,都叫做基向量,大小,方向,方向,模,与,a,长度相等而方向相反的向量,不共面,p,xa,yb,zc,基底,第四页，共34页。,三、空间向量的坐标运算,2,已知空间两个向量,a,、,b,，则,a,b,_,(,向量表示,),_,(,坐标表示,),3,空间向量数量积公式的变形及应用,已知,a,(,x,1,，,y,1,，,z,1,),，,b,(,x,2,，,y,2,，,z,2,),，,(1),判断垂直：,a,b,a,b,x,1,x,2,y,1,y,2,z,1,z,2,_.,x,1,x,2,y,1,y,2,z,1,z,2,|,a,|,b,|cos,a,，,b,a,，,b,0,，,0,第五页，共34页。,第六页，共34页。,1,在空间直角坐标系中，点,P,(1,2,3),关于,x,轴对称的点的坐标为,(,),A,(,1,2,3),B,(1,，,2,，,3),C,(,1,2,3)D,(,1,2,3),解析,：点,P,(,x,，,y,，,z,),关于,x,轴对称的点的坐标为,(,x,，,y,，,z,),答案,：,B,第七页，共34页。,2,与向量,a,(1,，,3,2),平行的一个向量的坐标是,(,),答案,：,C,第八页，共34页。,答案,：,C,第九页，共34页。,第十页，共34页。,1,建立空间直角坐标系，必须牢牢抓住“相交于同一点的两两垂直的三条直线”，要在题目中找出或构造出这样的三条直线，因此，要充分利用题目中所给的垂直关系,(,即线线垂直、线面垂直、面面垂直,),，同时要注意，所建立的坐标系必须是右手空间直角坐标系,在右手空间直角坐标系下，点的坐标既可根据图中有关线段的长度，也可根据向量的坐标写出,第十一页，共34页。,2,空间向量的知识和内容是在平面向量知识的基础上产生和推广的，因此，可以利用类比平面向量的方法解决本节的很多内容,(1),零向量是一个特殊向量，在解决问题时要特别注意零向量，避免对零向量的遗漏,(2),a,是一个向量，若,0,，则,a,0,；若,0,，,a,0,，则,a,0.,(3),讨论向量的共线、共面问题时，注意零向量与任意向量平行，共线与共面向量均不具有传递性,(4),数量积运算不满足消去律，即,a,b,b,c,a,c,.,数量积的运算不适合乘法结合律，即,(,a,b,),c,不一定,第十二页，共34页。,等于,a,(,b,c,),这是由于,(,a,b,),c,表示一个与,c,共线的向量，而,a,(,b,c,),表示一个与,a,共线的向量，而,c,与,a,不一定共线,空间向量没有除法运算,(5),借助空间向量可将立体几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题转化为向量的坐标运算，如：判断线线平行或诸点共线，转化为“,a,b,(,b,0),a,b,”,；证明线线垂直，转化为“,a,b,a,b,0”,，若,a,(,a,1,，,a,2,，,a,3,),，,b,(,b,1,，,b,2,，,b,3,),，则转化为计算,a,1,b,1,a,2,b,2,a,3,b,3,0,；在计算异面直线所成的角,(,或线面角、二面角,),时，转化为求向量的,第十三页，共34页。,两条异面直线所成的角,与两异面直线对应的向量,a,，,b,的夹角关系为,cos,|cos,a,，,b,|.,第十四页，共34页。,4,运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤为：建立恰当的空间直角坐标系；求出相关点的坐标；写出向量的坐标；结合公式进行论证、计算；转化为几何结论,第十五页，共34页。,考点一求点的坐标,【,案例,1】,(2009,安徽,),在空间直角坐标系中，已知点,A,(1,0,2),，,B,(1,，,3,1),，点,M,在,y,轴上，且,M,到,A,与到,B,的距离相等，则,M,的坐标是,_,关键提示,：设出,M,点的坐标后利用空间两点间的距离公式求解,解析,：本题主要考查空间两点距离的计算,设,M,(0,，,y,0),，因,|,MA,|,|,MB,|,，由空间两点间距离公式得,1,y,2,4,1,(,y,3),2,1,，解得,y,1.,答案,：,(0,，,1,0),(,即时巩固详解为教师用书独有,),第十六页，共34页。,【,案例,2】,如图，已知正方体,ABCD,A,B,C,D,的棱长为,a,，,M,为,BD,的中点，点,N,在,A,C,上，且,|,A,N,|,3|,NC,|,，试求,MN,的长,关键提示,：建立空间直角坐标系后再求出各点的坐标，然后求出,MN,的长,第十七页，共34页。,解,：以,D,为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体棱长为,a,，,所以,B,(,a,，,a,0),，,A,(,a,0,，,a,),，,C,(0,，,a,，,a,),，,D,(0,0,，,a,),第十八页，共34页。,第十九页，共34页。,【,即时巩固,1】,如图，在四棱锥,P,ABCD,中，底面,ABCD,为正方形，且边长为,2,a,，棱,PD,底面,ABCD,，,PD,2,b,，取各侧棱的中点,E,，,F,，,G,，,H,，写出点,E,，,F,，,G,，,H,的坐标,解,：由图形知，,DA,DC,，,DC,DP,，,DP,DA,，故以,D,为原点，建立如图空间坐标系,D,xyz,.,因为,E,，,F,，,G,，,H,分别为侧棱中点，由立体几何知识可知，平面,EFGH,与底面,ABCD,平行，从而这,4,个点的竖坐标都为,P,的竖坐标的一半，也就是,b,.,由,H,为,DP,中点，得,H,(0,0,，,b,),第二十页，共34页。,E,在底面上的投影为,AD,中点，所以,E,的横坐标和纵坐标分别为,a,和,0,，所以,E,(,a,0,，,b,),，同理,G,(0,，,a,，,b,),；,F,在坐标平面,xOz,和,yOz,上的投影分别为点,E,和,G,，故,F,与,E,横坐标相同都是,a,，与,G,的纵坐标也同为,a,，又,F,的竖坐标为,b,，故,F,(,a,，,a,，,b,),第二十一页，共34页。,考点二空间向量基本定理的应用,第二十二页，共34页。,关键提示,：利用空间向量基本定理将所求向量表示成已知向量的形式,第二十三页，共34页。,第二十四页，共34页。,第二十五页，共34页。,答案,：,B,第二十六页，共34页。,【,即时巩固,3】,如图所示，在,60,的二面角,AB,中，,AC,，,BD,，且,AC,AB,，,BD,AB,，垂足分别为,A,、,B,，已知,AB,AC,BD,a,，求线段,CD,的长,第二十七页，共34页。,第二十八页，共34页。,考点三证明垂直问题,第二十九页，共34页。,(1),求证：,EF,B,1,C,；,(2),求,EF,与,C,1,G,所成的角的余弦值；,(3),求,FH,的长,.,关键提示,：建立空间直角坐标系，利用空间向量来解决,第三十页，共34页。,第三十一页，共34页。,第三十二页，共34页。,第三十三页，共34页。,【,即时巩固,4】,已知正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,的棱长为,a,，用向量法解决下列问题：,(1),求,A,1,B,和,B,1,C,的夹角；,(2),证明,A,1,B,AC,1,；,(3),求,AC,1,的长度,第三十四页，共34页。,