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,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,空间向量的数量积运算,一、共线向量:,零向量与任意向量共线.,1.共线向量:,如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作,2.共线向量定理:,对空间任意两个向量 的充要条件是存在实数,使,推论:,如果 为经过已知点A且平行已知非零向量 的直线,那么对任一点O,点P在直线 上的充要条件是存在实数t,满足等式,OP=OA+t,其中向量,a,叫做直线的方向向量.,O,A,B,P,a,若P为A,B中点,则,2.共面向量定理:,如果两个向量,不共线,则向量 与向量 共面的充要,条件是存在实数对 使,推论:,空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y使,或对空间任一点O,有,注意：,空间四点P、M、A、B共面,实数对,平面向量数量积的相关知识,复习：,平面向量的夹角：,A,O,B,A,B,叫做向量 a与 b的夹角。,已知两个非零向量 a 和 b，,在平面上取一点O，,作,OA,=a,OB,=b,则,平面向量的数量积的定义：,平面向量的数量积,已知两个非零向量a,b，则|a|b|cos,叫做向量a,b的数量积，记作,即,并规定 0,教学过程,一、几个概念,1）两个向量的夹角的定义,O,A,B,2）两个向量的数量积,注意：,两个向量的数量积是数量，而不是向量.,零向量与任意向量的数量积等于零。,3）射影,B,A,A,1,B,1,注意：是轴l上的正射影,A,1,B,1,是一个可正可负的实数，它的符号代表向量与l的方向的相对关系，大小代表在l上射影的长度。,4)空间向量的数量积性质,注意：,性质2）是证明两向量垂直的依据；,性质3）是求向量的长度（模）的依据；,对于非零向量，有：,5)空间向量的数量积满足的运算律,注意：,数量积不满足结合律,二、课堂练习,三、典型例题,例1：已知m,n是平面,内的两条相交直线，直线l与,的交点为B，且lm，ln，求证：l,分析：由定义可知，只需证l与平面内任意直线g垂直。,n,m,g,g,m,n,l,l,要证l与g垂直，只需证lg0,而m，n不平行，由共面向量定理知，存在唯一的有序实数对(x,y)使得 g=xm+yn,要证lg0,只需l g=xlm+yln=0,而lm0，ln0,故 lg0,三,、,典型例题,例1：已知m,n是平面,内的两条相交直线，直线l与,的交点为B，且lm，ln，求证：l,n,m,g,g,m,n,l,l,证明：在,内作不与m、n重合的任一条直线g,在l、m、n、g上取非零向量l、m、n、g，因m与n相交，得向量m、n不平行，由共面向量定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使,g=xm+yn,lg=xlm+yln,lm=0,ln=0 lg=0,lg 这就证明了直线l垂直于平面,内的任一条直线，所以l,例2：已知：在空间四边形OABC中,OABC，OBAC，求证：OCAB,A,B,C,O,巩固练习：,利用向量知识证明三垂线定理,a,A,O,P,例3 如图，已知线段在平面 内，线段,，线段，线段，如,果，求、之间的距离。,解：由，可知.,由 知.,例4已知在平行六面体中，,求对角线的长。,解：,1.已知线段、在平面 内，线段,，如果，求、之间的距离.,解：,2.已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于,，点分别是边的中点。,求证：。,证明：因为,所以,同理，,3.已知空间四边形,，求证：。,证明：,4.如图，已知正方体，和 相交于,点，连结，求证：。,已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于,点分别是的中点，求下列向量的,数量积：,作业讲评,A,D,F,C,B,E,
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