统计学6两种常用的概率分布

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第六章 两种常用的概率分布,第一节 概率,第二节 二项分布,第三节 正态分布,第一节 概率,一、事件及其概率,（一）随机事件,概率论：是从量的方面研究随机现象的统计规律的科学。,随机现象：是指在相同条件下反复进行观察或实验，其结果无法事先预定的现象。,如：掷硬币，其结果有两个，正面或反面。在随机现象中出现的各种可能结果，称为随机事件，简称事件。,在每次试验中一定发生的事件，称为必然事件；而一定不会发生的事件，称为不可能事件。如纯水在标准大气压下零度结冰等。,（二）事件的概率,1,、频率：对于随机事件,A,，如果在,N,次试验中出现,a,次，则,A,发生的频率记作,（,6.1,）,频率满足不等式,0,F,（,A,）,1,。若,A,是必然事件，则,F,（,A,）,=1,，若,A,是不可能事件，则,F,（,A,）,=0,。,2,、经验概率,计数某事件在一系列试验中发生的次数，然后计算发生次数与试验总次数的比值得到频率。试验次数越多，某事件发生的频率会在某个常数上下波动。当试验次数无穷时该事件发生的频率会与一常数相等，把这一常数称为某事件的,概率,。（统计定义）,3,、先验概率,试验满足：试验中各种可能结果（基本事件）是有限的，并且每种结果发生的可能性是不变时，则某事件发生的概率等于该事件包含的基本事件数（,K,）除以试验中可能发生的基本事件总件数（,N,）之商。,6.2,经验概率是由计算事件发生的频率而得，先验概率是在实践之前利用有关事实确定的。前者给出了概率的操作性定义，后者提供了概率的理论上的基本定义。,4,、概率的性质,（,1,）对任一事件,A,，有,0,P,（,A,）,1,。,（,2,）不可能事件的概率等于零。,（,3,）必然事件的概率等于,1,。,5,、小概率事件,在统计推断中，将一次试验中发生的概率小于,0.05,的事件，称为小概率事件。认为它是一次试验中几乎不可能发生的事件。,二、概率的两个基本法则,（一）概率的加法法则,两个互不相容（或互斥）事件,A,、,B,之和的概率等于两个事件分别发生的概率，即,P,（,A+B,）,=P,（,A,）,+P,（,B,）,在一次试验中不可能同时出现的事件称为互不相容事件。,例,1,在,9,道题中，有,6,道选择题，,2,道是非题，,1,道填空题，随机抽出一题，求抽出的为是非或选择题的概率是多少？,解：高抽出是非题为事件,A,，抽出选择题为事件,B,，随机抽一题，只能是抽取三类题中的一题，所以,A,，,B,为互不相容事件。,“,抽出的为是非或选择题,”,意思是无论抽得两种题中的哪一种都表示该事件发生了，因此是求两个事件之和的概率,P,（,A+B,）。,P,（,A,）,=2/9,P(B)=6/9,所以,P,（,A+B,）,=P,（,A,）,+P,（,B,）,=8/9,（二）概率的乘法法则,两个相互独立事件,A,、,B,之积的概率等于两个事件分别发生的概率的积，即,P,（,A,B,）,=P,（,A,）,P,（,B,）,两个相互独立事件就是指一个事件发生的概率与另一个事件的发生无关，两个事件的积就是指两个事件同时发生的事件。,例,2,两道四选一题，凭猜测做对一题的概率是多少？,解：设第一题做对为事件,A,，做错为事件 ，第二题做对为事件,B,，做错为事件 ，做对第一题的概率为,P,（,A,），做对第二题的概率为,P,（,B,），所以做对任意一题的概率为,P,（,A,）,+,P,（,B,）,=P,（,A,）,P,（）,+,P,（）,P,（,B,）,=1/4*3/4+3/4*1/4=3/8,第二节 二项分布,（一）二项分布的概念,所谓分布的指随机变量的概率分布。,如果一次试验中只会发生两种结果，非,A,即,B,，,A,和,B,就是对立事件。发生,A,和,B,的概率分别为,p,和,q,，显然,P,（,A,）,+P,（,B,）,=p+q=1,。而且 重复多次试验时，各次试验结果之间互不影响，各次试验,结果之间是相互独立事件，则在,n,次试验中，,A,事件可能出现的次数,k(k=0,1,n),是随机的，也就是有,n+1,个概率值。,A,事件出现各种可能结果这一随机变量的概率分布就叫二项分布。二项分布中,A,事件出现的,k,次的概率与二项展开式的各项相对应。,二项式定理：,二项分布中,A,事件出现,k,次的概率与上式中各项对应，通式为,（,6.5,）,(6.6),例,3,凭猜测做五道是非题，答对的概率,p=1/2,答错的概率,q=1/2,，问五题中答对,k,（,k=0,1,2,3,4,5),题的概率各是多少？,解：根据二项式定理,答对,5,题的概率,1/32,答对,4,题的概率,5/32,答对,3,题的概率,10/32,答对,0,题的概率,1/32,5,题中答对各种可能结果的概率之和为,1,。所以在二项分布中，,n+1,项的概率之和为,1,。若,p=q,则概率分布呈对称性，与两端等距的项的概率相等。若,p,q,n,较小时，概率分布不对称，当,n,较大时（大于等于,30,或,50,），概率分布逐步对称。,（二）二项分布的平均数与标准差,（对随机变量,k,进行计算）,平均数：,=np,标准差：,=,二、二项分布的应用,例,4,某个学生一次测验回答,20,道是非题，每题,1,分，他得了,18,分，问（,1,）凭猜测得,18,分的概率是多少？（,2,）他的成绩若在,18,分以上，是否是凭猜测得到的？,解：（,1,）,p=0.5,q=0.5,n=20,k=18,代入公式（,6.6,）得,即凭猜测得,18,分的可能性只有十万分之十八。,（,2,）依题意应首先求该学生得,18,分，,19,分、,20,分三种分数的概率之和是多少，然后从这个概率的大小判断他是否是凭猜测得到这个分数。,同样,P,（,19,）,=0.000019,P,（,20,）,=0.000000095,三者之和为,0.000201,即凭猜测得,18,分以上的概率只有万分之二，可以断定，他得,18,分以上不是凭猜测得到的。,第三节 正态分布,一、正态分布的概念,正态分布是指在一个概率分布中，中间频数多，两端频数相对称地减少，形成一种,“,钟,”,形对称的理论概率分布。,图,6-1,正态分布,在二项分布中，当,p=q,当均数,np=5,n=10,时，二项分布可看作正态分布的近似形。,图,6-2,平均数、标准差相同的二项分布直条图和正态分布图,（二）正态分布曲线,图,6-1,为正态分布曲线，其方程为,其中，,Y,为正态分布曲线的高度，表示随机变量的概率的大小或观测值出现的相对次数，,X,为观测值，即随机变量的可能取值；,、,分别为,X,的平均数和标准差，,e=2.71828,=3.1416,。,（,6.9,）,从式,6.9,可看出，,Y,的值与离差,|X-,|,的绝对值有关，它是以,X=,这一点的纵线为对称轴的轴对称图形。它的位置和形状由平均数,和标准差,决定。在同一直角坐标系中，平均数的大小决定图形的位置左移或右移，当,较小时，图形向左移；当,较大时，图形向右移。见图,6-3,（,a),=0,=1,=5,=1,图,6-3,（,a,）,标准差的大小决定图形的陡峭平缓程度，即决定纵线高度的最大值。当标准差较大时，概率分布的离中趋势较大，观测值分散在较大范围内，纵线高度的最大值较小，正态分布曲线形状较平缓；当标准差较小时，概率分布的离中趋势较小，观测值分散在较小范围内，纵线高度的最大值较大，正态分布曲线形状较陡峭。如图,6-3,（,b),图,6-3,（,b),=0.5,=1,=1.6,在无数条正态分布曲线中有一条曲线,=0,，,=1,，这条曲线称为标准正态曲线，见图,6-3,（,a,）中左侧的一条曲线。其方程简化为,二、标准正态分布曲线的特点,1,、曲线最高点为,Z=0,，,Y=0.3989,，曲线下的总面积即概率总和为,1,，对称轴左右各,0.5,。,2,、曲线是以过,Z=0,的纵线为对称轴呈钟形的轴对称图形。,3,、标准正态分布的平均数、中位数、众数三点重合在,Z=0,这一点上。,4,、曲线与对称轴交点处,Y,值最大，即此处观测值的相对次数最大，概率最大；曲线向两侧先快后慢地下降，在,Z=,1,处有两个拐点；横轴是标准正态曲线的水平渐近线，曲线向两侧逐渐接近横轴，但永不相交。,三、正态分布表,（一）正态分布表的结构（,P240,）,它是通过公式（,6.10,）计算得到的。,表中第一列给出了从,0,到,3.99,的,Z,值，第二列给出了与,Z,对应的过点,Z,的纵线的高度,Y,值，第三列给出了曲线下面积,P,值是过,Z=0,人纵线与过表中某,Z,点人纵线所夹图形的面积比率，即相应区间的随机变量的概率。,（二）正态分布表的使用,已知,Z,值查出对应的,P,值和,Y,值；已知,P,值查出对应的,Z,值和,Y,值。,1,、已知,Z,值，求,P,值。,例,5,在正态分布表中：,（,1,）求,Z=-1,与,Z=1,之间的面积比率。,解：查表，当,Z=1,时，,P1=0.34134,由它的对称性，当,Z=-1,时，,P2=0.34134,，所以所求的面积比率为：,P1+P2=0.68268,。,（,2,）求,Z=-2.58,与,Z=2.58,之间的面积比率,.,解：查表，当,Z=2.58,时，,P1=0.49506,由它的对称性，当,Z=-2.58,时，,P2=0.49506,，所以所求的面积比率为：,P1+P2=0.99012,。,例,6,利用正态分布表求：,（,1,）正态曲线下,Z=1.34,处左侧的面积。,(2),正态曲线下,Z=2.16,处右侧的面积。,（,3,）正态曲线下,Z=-1.64,处左侧的面积。,（,4,）正态曲线下,Z=-1.5,处右侧的面积。,解：（,1,）查表得，,Z=1.34,，,P=0.40988,由于正态曲线对称轴左侧的面积为,0.5,所以所求面积为,:0.5+0.40988=0.90988.,(2)z=2.16,p=0.48461,由于对称轴右侧的面积为,0.5,故所求面积为,:,0.5-0.48461=0.01539.,(3),查表得,Z=1.64,时,P=0.44950,所以,Z=-1.64,时,P=0.44950,即它与,Z=0,所夹面积为,P=0.44950,故所求面积为,:0.5-P=0.0505.,(4),当,Z=1.5,时,P=0.43319,所以当,Z=-1.5,时,P=0.43319,故所求面积为,:,0.5+P=0.93319.,2,、已知,P,值，求,Z,值。,例,7,利用正态分布表，求：,（,1,）求中央,50%,的面积操作的下限,Z,值和上限,Z,值。,（,2,）求正态曲线下右尾,20%,的面积的下限,Z,值。,（,3,）求正态曲线下左侧,30%,的面积的上限,Z,值。,解：（,1,）由于正态曲线的对称性，中央,50%,的面积为对称轴左右两侧各,25%,的面积的和。所以,P=0.25,，查附表，表中没有恰等于,0.25,的,P,值，可以用误差最小的近似值,0.24857,作为,P,的近似值，对应的,Z=0.67,，故,Z,的下限为,-0.67,，,Z,的上限为,0.67,。,(2),所要求的,Z,值是表中,P=0.5-0.2=0.3,处对应的,Z,值，取最近似的值,P=0.29955,，其对应的,Z,值为,0.84,，故所求的下限,Z,值为,0.84,。,（,3,）对称轴与过,Z,值点纵线所夹面积为,P=0.5-0.3=0.2,，表中最近的,P,值为,0.19847,，其对应的,Z=0.52,，它的对称点为,Z=-0.52,，为所求。,四、正态曲线下面积的应用,（一）推求考试成绩中特定区间的人数,例,8,已知某年级,200,名学生考试成绩呈正态分布，平均分为,85,分，标准差为,10,分，学生甲的成绩为,70,分，问全年级